সৃজনশীলঃ ‘কোন এলাকায় একটি…’ ২০২৪ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

দুটি ভেক্টর  রাশির গুণনে গুণফল একটি স্কেলার রাশি হলে এই গুণনকে স্কেলার গুণন বলে। এই গুণনে গুণফলের মান ভেক্টর দুটির মানের গুণফল এবং তাদের মধ্যবর্তী কোনের কোসাইনের গুণফলের সমান হয়, দুটি ভেক্টরকে স্কেলার গুণন করতে হলে উহাদের মাঝে একটি ডট(.) চিহ্ন দিতে হয়। OA থেকে OC রেখা বারাবর $\overrightarrow{P}$এবং, $\overrightarrow{Q}$ ক্রিয়াশীল এরা পরস্পর সাথে a কোনে আনত। তাদের স্কেলার বা ডট গুণফল = $\overrightarrow{P}.\overrightarrow{Q}$ দ্বারা নিদের্শ করা হয় এবং পড়তে হয় $\overrightarrow{P}$ ডট $\overrightarrow{Q}$ কাজেই সংজ্ঞা অনুসারে পাই, 

$\overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{Q}=|\overrightarrow{P}|\overrightarrow{Q}\mid \cos \alpha ,\pi \ge \alpha \ge 0$

বা, $\overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{Q}=\mathrm{PQ}\cos \alpha =\mathrm{QP}\cos \alpha$ 

এখানে,  $0\le \alpha \le \pi$

Qcos a হচ্ছে $\overrightarrow{P}$ এর দিকে $\overrightarrow{Q}$ এর উপাংশ বা  $\overrightarrow{P}$ এর ওপর  $\overrightarrow{Q}$ এর লম্ব অভিক্ষেপ এবং Pcosa হচ্ছে $\overrightarrow{Q}$ এর দিকে $\overrightarrow{P}$ এর উপাংশ। 

$\overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{Q}=\mathrm{PQ}\cos \alpha =Q(P\cos \alpha )$ 

এখানে, P cosa হচ্ছে $\overrightarrow{Q}$ এর দিকে  $\overrightarrow{P}$ এর উপাংশ বা $\overrightarrow{Q}$ এর ওপর   $\overrightarrow{P}$ লম্ব অভিক্ষেপ। 

দেওয়া আছে,

P = 2xy²z³ – 4xy

এখন, 

 $\mathrm{grad}P=\overrightarrow{\Delta }.P$

$\begin{array}{cc}& \{\frac{\partial }{\partial }x\hat{ı}+\frac{\partial }{\partial z}\hat{k}\}\{2x{y}^2{z}^3-4xy\}\\ & \Rightarrow \hat{ı}\frac{\partial }{\partial x}(2x{y}^2{z}^3-4xy)+\hat{ȷ}\frac{\partial }{\partial y}(2x{y}^2{z}^3-4xy)+\hat{k}\frac{\partial }{\partial z}(2x{y}^2{z}^3-4xy)\\ & \Rightarrow \hat{ı}(2y^2{z}^3-4y)+\hat{ȷ}(2xy{z}^3-4x)+\hat{k}(2x{y}^2{z}^3-0)\\ & \Rightarrow (2y^2{z}^3-4y)\hat{ı}+(2xy{z}^3-4x)\hat{ȷ}+2x{y}^2{z}^2\hat{k}\end{array}$

(2, 1 – 1) বিন্দুতে এর গ্রেডিয়েন্ট:

$\begin{array}{cc}& \Rightarrow \left\{2\right(1{)}^2(-1{)}^3-4.1\}+\{2.2\cdot (1\left)\right(-1{)}^3-4.2\}+\left\{2\right(2\left)\right(1{)}^2(-1{)}^2\}\hat{k}\\ & =(-2-4)\hat{ı}+(-4-8)\hat{ȷ}+4\hat{k}\\ & =-6\hat{ı}-12\hat{ȷ}+4\hat{k}\\ & =6\hat{ı}+12\hat{ȷ}-4\hat{k}\text{ Ans }\end{array}$

ভেক্টর ক্ষেত্র 

$\overrightarrow{Q}=\hat{ı}(y^2\cos x+z^2)+\hat{ȷ}(2y\sin x-4)+\hat{k}(3x{z}^2+2)$

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{\Delta }\times Q=\left|\begin{array}{ccc}\hat{ı}& \hat{ȷ}& \hat{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ y^2\cos +z^2& 2y\sin x-4& 3x{z}^2+2\end{array}\right|\\ & =\hat{ı}[\frac{\partial }{\partial x}(3\mathrm{xz}{z}^2+2)-\frac{\partial }{\partial z}(2y\sin x-4\left)\right]-\hat{ȷ}\left[\frac{\partial }{\partial x}\right(2y\sin x-4)-\frac{\partial }{\partial y}(y^2\cos x+z^3)]\\ & =\hat{ı}(0-0)-\hat{ȷ}(6z-6z)+\hat{k}(2y\cos x-2\mathrm{yocs}x)\\ & =0\end{array}$

সুতরাং অঘূর্ননশীল।