সৃজনশীলঃ ‘কোনো কণার উপর…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৫ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

মনে করি, একটি কণার উপর $P_1,P_2,P_3$ মানের তিনটি একতলীয় বল ক্রিয়ারত আছে। $P_2$ ও $P_3,P_3$ ও $P_1$ এবং $P_1$ ও $P_2$ এর অন্তর্গত কোণ যথাক্রমে $\alpha ,\beta$ এবং $\gamma$ । 

বলগুলোর লব্ধি $R$ যা $P_1$ এর সাথে $\theta$ কোণে ক্রিয়াশীল $P_1$ বরাবর লম্বাংশ উপপাদ্য অনুসারে পাই, 

$R\cos \theta =P_1\cos 0^{\circ }+P_2\cos \gamma +P_3\cos (-\beta )$ 

বা, $R\cos \theta =P_1+P_2\cos \gamma +P_3\cos \beta$$............\left(i\right)$

এবং $R\sin {\theta }^{\prime }=P_1\sin 0^{\circ }+P_2\sin \gamma +P_3\sin (-\beta )$.
বা, $R\sin \theta =P_2\sin \gamma -P_3\sin \beta$$............\left(ii\right)$ 

$\left(i\right)$ নং ও $\left(ii\right)$ নং কে বর্গ করে যোগ করি, 

$\begin{array}{cc}& R^2{\cos }^2\theta +R^2{\sin }^2\theta =P_1{}^2+P_2{}^2{\cos }^2\gamma 4P_3{}^2{\cos }^2\beta \\ & +2P_1{P}_2\cos \gamma +2P_2{P}_3\cos \gamma \cos \beta +2P_3{P}_1\cos \beta +\\ & P_2{}^2{\sin }^2\gamma +P_3{}^2{\sin }^2\beta -2P_2{P}_3\sin \beta \sin \gamma \end{array}$ 

বা, $R^2({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )=P_1{}^2+P_2{}^2({\sin }^2\gamma +{\cos }^2\gamma )$$\begin{array}{c}+P_3^2({\sin }^2\beta +{\cos }^2\beta )+2P_1{P}_2\cos \gamma +2P_3{P}_1\cos \beta +2P_2{P}_3(\cos \beta \cos \gamma -\sin \beta \sin \gamma )\end{array}$

বা, $R^2=P_1{}^2+P_2{}^2+P_3{}^2+2P_1{P}_2\cos \gamma +2P_3{P}_1\cos \beta +2P_2{P}_3\cos (\beta +\gamma )$
বা, $R^2=P_1{}^2+P_2{}^2+P_3{}^2+2P_1{P}_2\cos \gamma +2P_3{P}_1\cos \beta$$+2P_2{P}_3\cos (2\pi -\alpha )[\because \alpha +\beta +\gamma =2\pi ]$

বা, $R^2=P_1{}^2+P_2{}^2+P_3{}^2+2P_1{P}_2\cos \gamma +2P_1{P}_3\cos \beta +2P_2{P}_3\cos \alpha$

$\therefore R={[P_1^2+P_2^2+P_3^2+2P_2{P}_3\cos \alpha +2P_3{P}_1\cos \beta +2P_1{P}_2\cos \gamma ]}^{\frac{1}{2}}$

$\therefore$ বলগুলোর লব্ধি $[P_1{}^2+P_2{}^2+P_3{}^2+2P_2{P}_3\cos \alpha +2P_3{P}_1\cos \beta$${+2P_1{P}_2\cos \gamma ]}^{\frac{1}{2}}$.  (দেখানো হলো) 

মনে করি, একটি কণার উপর $P_1,P_2,P_3$ মানের তিনটি একতলীয় বল ক্রিয়ারত আছে। $P_2$ ও $P_3,P_3$ ও $P_1$ এবং $P_1$ ও $P_2$ এর অন্তর্গত কোণ যথাক্রমে $\alpha ,\beta ,\gamma$ ।

বলত্রয় সাম্যবস্থায় থাকলে, এদের লব্ধি শূন্য। $P_1$ বরাবর লম্বাংশ উপপাদ্য অনুসারে পাই, 

$P_1\sin 0^{\circ }+P_2\sin \gamma +P_3\sin (-\beta )=0$ 

বা, $P_2\sin \gamma -P_3\sin \beta =0$
বা, $P_2\sin \gamma =P_3\sin \beta$
বা, $\frac{P_2}{\sin \beta }=\frac{P_3}{\sin \gamma }$$........\left(i\right)$

আবার, $P_2$ বরাবর লম্বাংশ উপপাদ্য অনুসারে পাই,

$P_2\sin 0^{\circ }+P_3\sin \alpha +P_1\sin (-\gamma )=0$

বা, $P_3\sin \alpha -P_1\sin \gamma =0$
বা, $P_1\sin \gamma =P_3\sin \alpha$
বা, $\frac{P_1}{\sin \alpha }=\frac{P_3}{\sin \gamma }$$........\left(ii\right)$
$\left(i\right)$ নং ও $\left(ii\right)$ নং হতে পাই, 

$\frac{P_1}{\sin \alpha }=\frac{P_2}{\sin \beta }=\frac{P_3}{\sin {\gamma }^{\prime }}$ (প্রমাণিত)