সৃজনশীলঃ ‘L=[213−13−1−12−5],M=[611],N=[xyz]এবং A=|P2a2a2b2Q2b2c2c2R2|…’ ২০২৪ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $C=\left(\begin{array}{ccc}(m+n{)}^2& l^2& l^2\\ m^2& (n+l{)}^2& m^2\\ n^2& n^2& (l+m{)}^2\end{array}\right)$

বামপক্ষ$=|C|=\left|\begin{array}{ccc}(m+n{)}^2& l^2& l^2\\ m^2& (n+l{)}^2& m^2\\ n^2& n^2& (l+m{)}^2\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}(m+n{)}^2& l^2-(m+n{)}^2& l^2-(m+n{)}^2\\ m^2& (n+l{)}^2-m^2& 0\\ n^2& 0& (l+m{)}^2-n^2\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}(m+n{)}^2& l^2-(m+n{)}^2& l^2-(m+n{)}^2\\ m^2& (n+{)}^2-m^2& 0\\ n^2& 0& (l+m{)}^2-n^2\end{array}\right|$

$[c_2^{\prime }=c_2-c_1$এবং $c_3^{\prime }=c_3-c_1$ প্রয়োগ করে ]

$=\left|\begin{array}{ccc}(m+n{)}^2& (l+m+n)(l-m-n)& (l+m+n)(l-m-n)\\ m^2& (l+m+n)(n+l-m)& 0\\ n^2& 0& (l+m+n)(l+m-n)\end{array}\right|$

$=(l+m+n)(l+m+n)\left|\begin{array}{ccc}(m+n{)}^2& (l-m-n)& (l-m-n)\\ m^2& (n+l-m)& 0\\ n^2& 0& (l+m-n)\end{array}\right|$

$=(l+m+n{)}^2\left|\begin{array}{ccc}2\mathrm{mn}& -2n& -2m\\ m^2& n+l-m& 0\\ n^2& 0& l+m-n\end{array}\right|$

$[r_1^{\prime }=r_1-(r_2+r_3)]$

$=\frac{(l+m+n{)}^2}{\mathrm{mn}}\left|\begin{array}{ccc}2\mathrm{mn}& -2\mathrm{mn}& -2\mathrm{mn}\\ m^2& \mathrm{mn}+lm-m^2& 0\\ n^2& 0& ln+\mathrm{mn}-n^2\end{array}\right|$

$=\frac{(l+m+n{)}^2}{\mathrm{mn}}\left|\begin{array}{ccc}2\mathrm{mn}& 0& 0\\ m^2& \mathrm{mn}+lm& m^2\\ n^2& n^2& ln+\mathrm{mn}\end{array}\right|$

$[c_2^{\prime }=c_1+c_2;c_3^{\prime }=c_3+c_{1]}$

$=\frac{(l+m+n{)}^2}{\mathrm{mn}}\times 2\mathrm{mn}\left|\begin{array}{cc}\mathrm{mn}+lm& m^2\\ n^2& ln+\mathrm{mn}\end{array}\right|$

$=2(l+m+n{)}^2\cdot \mathrm{mn}\left|\begin{array}{cc}n+l& m\\ n& l+m\end{array}\right|$

$=2\mathrm{mn}(l+m+n{)}^2[(n+l)(l+m)-\mathrm{mn}]$

$=2\mathrm{mn}(l+m+n{)}^2(nl+l^2+\mathrm{mn}+lm-\mathrm{mn})$

$=2l\mathrm{mn}(l+m+n{)}^2(n+l+m)$

$=2l\mathrm{mn}(l+m+n{)}^3=$ডানপক্ষ

$\therefore |C|=2l\mathrm{mn}(l+m+n{)}^3$ (দেখানো হলো)

প্রদত্ত সমীকরণ জোট, $2x-y-z=6$

$x+3y+2z=1$

$3x-y-5z=1$

'খ' হতে পাই,

$D=\left|\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ 1& 3& 2\\ 3& -1& -5\end{array}\right|=-27$

$\therefore D_x=\left|\begin{array}{ccc}6& -1& -1\\ 1& 3& 2\\ 1& -1& -5\end{array}\right|$

$=6(-15+2)+1(-5-2)-1(-1-3)$

$=-78-7+4=-81$

$\therefore D_y=\left|\begin{array}{ccc}2& 6& -1\\ 1& 1& 2\\ 3& 1& -5\end{array}\right|$

$=2(-5-2)-6(-5-6)-1(1-3)$

$=-14+66+2=54$

$\therefore D_2=\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 6\\ 1& 3& 1\\ 3& -1& 1\end{array}\right|$

$=2(3+1)+1(1-3)+6(-1-9)$

$=8-2-60=-54$

$\therefore x=\frac{D_x}{D}=\frac{-81}{-27}=3;y=\frac{D_y}{D}=\frac{54}{-27}=-2$

এবং$z=\frac{D_z}{D}=\frac{-54}{-27}=2$

$\therefore$নির্ণেয় সমাধান : $(x,y,z)=(3,-2,2)$ (Ans.)