সৃজনশীলঃ ‘L(x,y,z)=x+y+z এবং T(x)=1−x3…’ ময়মনসিংহ গার্লস ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $L(x,y,z)=x+y+z$

শর্তমতে, $L(x,y,z)=\frac{xyz}{xy+yz+zx}$

বা, $x+y+z=\frac{xyz}{xy+yz+zx}$

বা, $(x+y+z)(xy+yz+zx)=xyz$

বা, $x^{2}y+xyz+z{x}^2+x{y}^2+y^{2}z+xyz+xyz+y{z}^2+z^{2}x=xyz$

বা, $x^{2}y+x{y}^2+y^{2}z+y{z}^2+z^{2}x+z{x}^2+3xyz=xyz$

বা, $x^{2}y+x{y}^2+y^{2}z+y{z}^2+z^{2}x+z{x}^2=-2xyz$

বামপক্ষ $=\left(L\right(x,y,z){)}^3$

$=(x+y+z{)}^3$

$=x^3+y^3+z^3+3x^{2}y+3x{y}^2+3y^{2}z+3y{z}^2+3z^{2}x+3z{x}^2+6xyz$

$=x^3+y^3+z^3+3(x^{2}y+x{y}^2+y^{2}z+y{z}^2+z^{2}x+z{x}^2)+6xyz$

$=x^3+y^3+z^3+3(-2xyz)+6xyz$ [(i) নং হতে]

$=x^3+y^3+z^3-6xyz+6xyz$

$=x^3+y^3+z^3=$ ডানপক্ষ

$\therefore \left(L\right(x,y,z){)}^3=x^3+y^3+z^3$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $T\left(x\right)=1-x^3$

$\therefore \frac{x^2-T\left(x\right)+2}{T\left(x\right)}=\frac{x^2-(1-x^3)+2}{1-x^3}=\frac{x^2-1+x^3+2}{1-x^3}=\frac{x^3+x^2+1}{1-x^3}$

ধরি, $\frac{1+x^2+x^3}{1-x^3}=-1+\frac{A{x}^2+Bx+C}{1-x^3}$

(1) নং এর উভয়পক্ষকে ( $1-x^3$ ) দ্বারা গুণ করে পাই,

$(1+x^2+x^3)=(-1+x^3)+(A{x}^2+Bx+C)$

(2) নং এর উভয়পক্ষ হতে $x^2$ ও $x$ এর সহগ এবং ধ্রুবক পদ সমীকৃত করে পাই,

$1=A$

$0=B$

$1=C-1$ বা, $C=2$

(1) নং এ A, B, C এর মান বসিয়ে পাই,

$\frac{1+x^2+x^3}{1-x^3}=-1+\frac{x^2+0+2}{1-x^3}$

বা, $\frac{1+x^2+x^3}{1-x^3}=-1+\frac{x^2+2}{1-x^3}$

এটিই হলো $\frac{x^2-T\left(x\right)+2}{T\left(x\right)}$ এর আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশিত রূপে ।