সৃজনশীলঃ ‘লোহার তৈরি একটি…’ মাইলস্টোন স্কুল অ্যান্ড কলেজ ঢাকা ২০২৬

লোহার তৈরি একটি নিরেট ঘনকাকৃতির বস্তুর আয়তন 343 ঘন সে.মি.। বস্তুটিকে গলিয়ে একটি বেলনাকার ফাঁপা পাইপে পরিণত করা হলো। ফাঁপা পাইপটির ভিতরের ও বাহিরের ব্যাস যথাক্রমে 6 সে.মি. ও 9 সে.মি.। ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 86 সে.মি. ও 56 সে.মি.।

উত্তর:

চিত্রে, AOB সমকোণী ত্রিভুজে ∠ $ABO =$ এক সমকোণ, $∠ AOB = θ, OB = x$ এবং $AB = y$

পিথাগোরাসের সূত্র অনুসারে,

${OA}^{2} = {OB}^{2} + {AB}^{2}$

বা, ${OA}^{2} = x^{2} + y^{2}$
বা, $O A = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

এখন, $\sin ∠ AOB = \frac{AB}{OA}$

বা, $\sin θ = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

এবং $\cos ∠ AOB = \frac{OB}{OA}$ বা, $\cos θ = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

$∴ \sin^{2} θ + \cos^{2} θ = {(\frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2}$
$= \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - \frac{y^{2} + x^{2}}{x^{2} + y^{2}} = 1$
$∴ \sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1 .$ (প্রমাণিত)

উত্তর:

দেওয়া আছে, ফাঁপা পাইপের বাইরের ব্যাস $2 r_{1} = 9$ সে.মি. এবং ভিতরের ব্যাস $2 r_{2} = 6$ সে.মি.
ফাঁপা পাইপের বাইরের ব্যাসার্ধ, $r_{1} = \frac{9}{2} = 4.5$ সে.মি.
এবং ভেতরের ব্যাসার্ধ, $r_{2} = \frac{6}{2} = 3$ সে.মি.

ধরি, পাইপটির উচ্চতা $h$
আমরা জানি, বেলনাকার পাইপের আয়তন $= π r^{2} h$
শর্তমতে, $π r_{1}^{2} h - π r_{2}^{2} h = 343$
বা, $π h ({4.5}^{2} - 3^{2}) = 343$
বা, $π h (20.25 - 9) = 343$
বা, $11.25 h π = 343$
বা, $h = \frac{343}{11.25 π}$
$∴ h = 9.705$ (প্রায়)
∴ ফাঁপা পাইপটির উচ্চতা 9.705 সে.মি. (প্রায়)।

উত্তর:

রমেনে করি, ABCD ট্রাপিজিয়ামের $AB =$ 86 সে.মি., $CD = 56$ সে.মি.। $AD = 13$ সে.মি. এবং BC = 19 সে.মি. । C ও D থেকে AB এর উপর যথাক্রমে DE ও CF লম্ব টানি ।

∴ CDEF একটি আয়তক্ষেত্র।

$∴ E F = C D = 56$ সে.মি.

ধরি, $AE = x$ এবং $DE = CF = h$

$∴ B F = A B - A F = 86 - (A E + E F) = 86 - (x + 56) = 30 - x$

ADE সমকোণী ত্রিভুজে, ${AE}^{2} + {DE}^{2} = {AD}^{2}$
বা, $x^{2} + h^{2} = (13)^{2} = 169$ .................(1)

আবার, BCF সমকোণী ত্রিভুজে,

${BF}^{2} + {CF}^{2} = {BC}^{2}$

বা, $(30 - x)^{2} + h^{2} = (19)^{2}$
বা, $900 - 60 x + x^{2} + h^{2} = 361$
বা, $900 - 60 x + 169 = 361$ [(1) হতে]
বা, $1069 - 361 = 60 x$
বা, $60 x = 708$
বা, $x = \frac{7.08}{60} ∴ x = 11.8$

(1) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই, $(11.8)^{2} + h^{2} = 169$

বা, $139.24 + h^{2} = 169$
বা, $h^{2} = 169 - 139.24 = 29.76$
বা, $h = \sqrt{29.76} ∴ h = 5.4553$ সে.মি: (প্রায়)
$∴ ABCD$ ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} (AB + CD) \cdot h$ বর্গ একক

$= \frac{1}{2} (86 + 56) \times 5.4553$ বর্গ সে.মি.
$= \frac{1}{2} \times 142 \times 5.4553$ বর্গ সে.মি.
$= 387.33$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল $387.33$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

A. Nayan

22 Jun 2026 (3 months ago)

সৃজনশীলঃ ‘লোহার তৈরি একটি…’ মাইলস্টোন স্কুল অ্যান্ড কলেজ ঢাকা ২০২৬ – পরিমিতি, গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর

A. Nayan

22 Jun 2026 (3 months ago)

texthide = ""; texthide = texthide.substring(1) document.write(texthide);

সৃজনশীলঃ ‘লোহার তৈরি একটি…’ মাইলস্টোন স্কুল অ্যান্ড কলেজ ঢাকা ২০২৬ – পরিমিতি, গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর