সৃজনশীলঃ ‘M=[123450327];F(x)=x3−3×2+2x; N=[3x+2y+zx+2y+3z2x+y+4z] এবং…’ সিলেট বোর্ড ২০২৫ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $M=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 0\\ 3& 2& 7\end{array}\right]$

এবং $F\left(x\right)=x^3-3x^2+2x$

$\therefore F\left(M\right)=M^3-3M^2+2M$

এখন, $F\left(M\right)=I_3$ হলে,

$M^3-3M^2+2M=I_3$

বা, $M^{-1}(M^3-3M^2+2M)=M^{-1}.I_3$

বা, $M^{-1}\cdot M^3-3M^{-1}\cdot M^2+2M^{-1}\cdot M=M^{-1}[\because A^{-1}\cdot I_3=A^{-1}]$

বা, $M^{-1}\cdot M\cdot M^2-3M^{-1}\cdot M\cdot M+2M^{-1}\cdot M=M^{-1}$

বা, $I_3\cdot M^2-3.I_3\cdot M+2.I_3=M^{-1}[\because M^{-1}\cdot M=I_3]$

বা, $M^{-1}=M^2-3M+2I_3[\because M.I=M]$

বা, $M^{-1}=M.M-3.M+2.I_3$

$=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 0\\ 3& 2& 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 0\\ 3& 2& 7\end{array}\right]-3\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 0\\ 3& 2& 7\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}1+8+9& 2+10+6& 3+0+21\\ 4+20+0& 8+25+0& 12+0+0\\ 3+8+21& 6+10+14& 9+0+49\end{array}\right]$

$-\left[\begin{array}{ccc}3& 6& 9\\ 12& 15& 0\\ 9& 6& 21\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}18& 18& 24\\ 24& 33& 12\\ 32& 30& 58\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}3& 6& 9\\ 12& 15& 0\\ 9& 6& 21\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}18-3+2& 18-6+0& 24-9+0\\ 24-12+0& 33-15+2& 12-0+0\\ 32-9+0& 30-6+0& 58-21+2\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}17& 12& 15\\ 12& 20& 12\\ 23& 24& 39\end{array}\right]$

নির্ণেয় $M^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}17& 12& 15\\ 12& 20& 12\\ 23& 24& 39\end{array}\right]$.

দেওয়া আছে, $N=\left[\begin{array}{c}3x+2y+z\\ x+2y+3z\\ 2x+y+4z\end{array}\right]$ এবং $P=\left[\begin{array}{ccc}3& -1& 2\end{array}\right]$

$N=P^T$ হলে, $\left[\begin{array}{c}3x+2y+z\\ x+2y+3z\\ 2x+y+4z\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccc}3& -1& 2\end{array}\right]}^T$

$\therefore \left[\begin{array}{c}3x+2y+z\\ x+2y+3z\\ 2x+y+4z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right]$

ম্যাট্রিক্সের সমতা অনুসারে পাই,

$3x+2y+z=3$

$x+2y+3z=-1$

এবং $2x+y+4z=2$

$x,y,z$ এর সহগগুচ্ছ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক,

$D=\left|\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 1& 2& 3\\ 2& 1& 4\end{array}\right|$

$=3(8-3)-2(4-6)+1(1-4)$

$=15+4-3=16$

এখন, $D_x=\left|\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ -1& 2& 3\\ 2& 1& 4\end{array}\right|$

$=3(8-3)-2(-4-6)+1(-1-4)$

$=15+20-5=30$

$D_y=\left|\begin{array}{ccc}3& 3& 1\\ 1& -1& 3\\ 2& 2& 4\end{array}\right|$

$=3(-4-6)-3(4-6)+1(2+2)$

$=-30+6+4=-20$

এবং $D_z=\left|\begin{array}{ccc}3& 2& 3\\ 1& 2& -1\\ 2& 1& 2\end{array}\right|$

$=3(4+1)-2(2+2)+3(1-4)$

$=15-8-9=-2$

$\therefore =\frac{D_x}{D}=\frac{30}{16}=\frac{15}{8};$

$y=\frac{D_y}{D}=\frac{-20}{16}=-\frac{5}{4}$

এবং $z=\frac{D_z}{D}=\frac{-2}{16}=-\frac{1}{8}$

নির্ণেয় সমাধান, $(x,y;z)=(\frac{15}{8},-\frac{5}{4},-\frac{1}{8})$