সৃজনশীলঃ ‘M=[a−522a−2],N=[−12−32104−25],P=[−2a+b−c−2b+c−aa+b−cc2ab2]…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৩ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$N=\left[\begin{array}{ccc}-1& 2& -3\\ 2& 1& 0\\ 4& -2& 5\end{array}\right]$

$\therefore N^2=N\times N=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 0\\ 4& -2& 5\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{ccc}-1& 2& -3\\ 2& 1& 0\\ 4& -2& 5\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}1+4-12& -2+2+6& 3+0-15\\ -2+2+0& 4+1+0& -6+0+0\\ -4-4+20& 8-2-10& -12+0+25\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}-7& 6& -12\\ 0& 5& -6\\ 12& -6& 13\end{array}\right]$

এখন, $N^2-5N+4I=\left[\begin{array}{ccc}-7& 6& -12\\ 0& 5& -6\\ 12& -6& 13\end{array}\right]-5\left[\begin{array}{ccc}-1& 2& -3\\ 2& 1& 0\\ 4& -2& 5\end{array}\right]+4\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}-7& 6& -12\\ 0& 5& -6\\ 12& -4& 13\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}-5& 10& -15\\ 10& 5& 0\\ 20& -10& 25\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}2& -4& 3\\ -10& 4& -6\\ -8& 6& -8\end{array}\right]$

দেওয়া আছে,

$P=\left[\begin{array}{ccc}-2& a+b& -c\\ -2& b+c& -a\\ a+b-c& c^2& a{b}^2\end{array}\right]$

$\therefore$ L.H.S $=|P|=\left|\begin{array}{ccc}-2& a+b& -c\\ -2& b+c& -a\\ a+b-c& c^2& ab\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}0& a-c& a-c\\ -2& b+c& -a\\ a+b-c& c^2& ab\end{array}\right|r_1^{\prime }=r_1-r_2$

$=(a-c)\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ -2& b+c& -a\\ a+b-c& c^2& ab\end{array}\right|$

$=(a-c)\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ -2& b+c+a& -a\\ a+b+c& c^2-ab& ab\end{array}\right|c_2^{\prime }=c_2-c_3$

$=(a-c)\{0-0+1(-2c^2+2ab-ab-ac-a^2-b^2-bc-ab+bc+c^2+ac)\}$

$=(a-c){(-a^2-b^2-c^2)}^2$

$=-(a-c)(a^2+b^2+c^2)$

$=(c-a)(a^2+b^2+c^2)$

$=$ R.H.S (প্রমাণিত)