সৃজনশীলঃ ‘M=(k+x2)5 এবং একটি…’ কুমিল্লা জিলা স্কুল ২০২৬ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

[বি. দ্র: A এর পরিবর্তে M হবে]

দেওয়া আছে, $A={(k+\frac{x}{2})}^5$

দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই,

$\begin{array}{cc}A={(k+\frac{x}{2})}^5=& k^5+{}^5{C}_1\cdot k^{5-1}\left(\frac{x}{2}\right)+{}^5{C}_2\cdot k^{5-2}{\left(\frac{x}{2}\right)}^2\\ & +{}^5{C}_3\cdot k^{5-3}{\left(\frac{x}{2}\right)}^3+{}^5{C}_4\cdot k^{5-4}{\left(\frac{x}{2}\right)}^4+{\left(\frac{x}{2}\right)}^5\\ =& k^5+5k^4\cdot \frac{x}{2}+\frac{5\cdot 4}{2\cdot 1}\cdot k^3\cdot \frac{x^2}{4}+\frac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 1}\cdot k^2\cdot \frac{x^3}{8}+\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\cdot k\cdot \frac{x^4}{16}+\frac{x^5}{32}\\ =& k^5+\frac{5k^{4}x}{2}+\frac{5k^3{x}^2}{2}+\frac{5k^2{x}^3}{4}+\frac{5k^4}{16}+\frac{x^5}{32}\end{array}$

শর্তমতে,

$k^5+\frac{5k^{4}x}{2}+\frac{5k^3{x}^2}{2}+\frac{5k^2{x}^3}{4}+\frac{5{\mathrm{kx}}^4}{16}+\frac{x^5}{32}=32-\mathrm{px}+{\mathrm{qx}}^2+{\mathrm{rx}}^3+\dots \dots$

উভয়পক্ষ হতে ধ্রুব পদ, $x,x^2$ এবং $x^3$ এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

$k^5=32$

বা, $k^5=2^5$

$\therefore k=2$

$-p=\frac{5k^4}{2}$

বা, $p=-\frac{{5.2}^4}{2}=-40$

$q=\frac{5k^3}{2}=\frac{{5.2}^3}{2}=20$

এবং $r=\frac{5k^2}{4}=\frac{{5.2}^2}{4}=5$

নির্ণেয় মান : $p=-40,q=20$ এবং $r=5$.

দেওয়া আছে, গুণোত্তর ধারাটির ১ম পদ, $a=\frac{1}{2}$

গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমস্টি, $S_{\infty }=\frac{1}{3}$

ধরি, ধারাটির সাধারণ অনুপাত =r

আমরা জানি,

গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি, $S_{\infty }=\frac{a}{1-r}$

বা, $\frac{1}{3}=\frac{\frac{1}{2}}{1-r}$

বা, $1-r=\frac{1}{2}\times 3=\frac{3}{2}$

বা, $r=1-\frac{3}{2}=\frac{2-3}{2}$

$\therefore r=-\frac{1}{2}$

∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত, $r=-\frac{1}{2}<1$.

ধরি, ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি $S_n=\frac{85}{256}$

আমরা জানি, $S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}[\because r<1]$

বা, $\frac{85}{256}=\frac{\frac{1}{2}\{1-{(-\frac{1}{2})}^n\}}{1-(-\frac{1}{2})}$

বা, $\frac{85}{256}=\frac{\frac{1}{2}\{1-{(-\frac{1}{2})}^n\}}{1+\frac{1}{2}}$

বা, $\frac{85}{256}=\frac{\frac{1}{2}\{1-{(-\frac{1}{2})}^n\}}{\frac{3}{2}}$

বা, $\frac{85}{256}=\frac{1}{2}\{1-{(-\frac{1}{2})}^n\}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{3}\{1-{(-\frac{1}{2})}^n\}$

বা, $1-{(-\frac{1}{2})}^n=\frac{85}{256}\times 3$

বা, $1-{(-\frac{1}{2})}^n=\frac{255}{256}$

বা, $1-\frac{255}{256}={(-\frac{1}{2})}^n$

বা, ${(-\frac{1}{2})}^n=\frac{256-255}{256}$

বা, ${(-\frac{1}{2})}^n=\frac{1}{256}={(-\frac{1}{2})}^8$

$\therefore n=8$

অতএর, ধারাটির প্রথম 8টি পদের সমষ্টি $\frac{85}{256}$