সৃজনশীলঃ ‘M=(q+r1q2+r2r+p1r2+p2p+q1p2+q2).…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৫ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $M=\left(\begin{array}{ccc}q+r& 1& q^2+r^2\\ r+p& 1& r^2+p^2\\ p+q& 1& {\dot{p}}^2+q^2\end{array}\right)$

$\therefore |M|=\left|\begin{array}{ccc}q+r& 1& q^2+r^2\\ r+p& 1& r^2+p^2\\ p+q& 1& p^2+q^2\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}q+r& 1& q^2+r^2\\ (r+p)-(q+r)& 1-1& (r^2+p^2)-(q^2+r^2)\\ (p+q)-(q+r)& 1-1& (p^2+q^2)-(q^2+r^2)\end{array}\right|$

$\left[\begin{array}{c}{r}_2^{\prime }=r_2-r_1\\ r_3^{\prime }=r_3-r_1\end{array}\right]$

$=(-1{)}^{1+2}\cdot 1\left|\begin{array}{ccc}q+r& 1& q^2+r^2\\ r+p-q-r& 0& r^2+p^2-q^2-r^2\\ p+q-q-r& 0& p^2+q^2-q^2-r^2\end{array}\right|$

$=-\left|\begin{array}{cc}(p-q)& (p-q)(p+q)\\ (p-r)& (p-r)(p+r)\end{array}\right|$

$=-(p-q)(p-r)\left|\begin{array}{cc}1& p+q\\ 1& p+r\end{array}\right|$

$=-(p-q)(p-r)(p+r-p-q)$

$=-(p-q)(p-r)(r-q)$

$=-(p-q)\{-(r-p\left)\right\}(-(q-r\left)\right\}$

$=-(p-q)(q-r)(r-p)$

M ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হলে, $|M|=0$ হবে।

অর্থাৎ, $-(p-q)(q-r)(r-p)=0$

বা, $(p-q)(q-r)(r-p)=0$

$\therefore p-q=0$

বা, $p=q$

অথবা, $q-r=0$

বা, $q=r$

অথবা, $r-p=0$

বা, $r=p$

$\therefore p=q=r$. (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $M=\left(\begin{array}{ccc}q+r& 1& q^2+r^2\\ r+p& 1& r^2+p^2\\ p+q& 1& p^2+q^2\end{array}\right)$

$p=0,q=1$ এবং $r=-2$ হলে,

$M=\left(\begin{array}{ccc}1-2& 1& 1+4\\ -2+0& 1& 4+0\\ 0+1& 1& 0+1\end{array}\right)$

$\therefore M=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 5\\ -2& 1& 4\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$

এখন, $M^2=M.M$

$=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 5\\ -2& 1& 4\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 5\\ -2& 1& 4\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{cccc}1& -2+5& -1+1+5& -5+4+5\\ 2& -2+4& -2+1+4& -10+4+4\\ -1& -2+1& 1+1+1& 5+4+1\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{ccc}4& 5& 4\\ 4& 3& -2\\ -2& 3& 10\end{array}\right)$

প্রদত্ত রাশি $=2M^2-M+3I$

$=2\left(\begin{array}{ccc}4& 5& 4\\ 4& 3& -2\\ -2& 3& 10\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 5\\ -2& 1& 4\\ 1& 1& 1\end{array}\right)+3\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 9\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{ccc}8& 10& 8\\ 8& 6& -4\\ -4& 6& 20\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 5\\ -2& 1& 4\\ 1& 1& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{ccc}8+1+3& 10-1+0& 8-5+0\\ 8+2+0& 6-1+3& -4-4+0\\ -4-1+0& 6-1+0& 20-1+3\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{ccc}12& 9& 3\\ 10& 8& -8\\ -5& 5& 22\end{array}\right)$

$\therefore 2M^2-M+3I=\left(\begin{array}{ccc}12& 9& 3\\ 10& 8& -8\\ -5& 5& 22\end{array}\right)$.