সৃজনশীলঃ ‘M=1ay+a−z+1+1az+a−x+1+1ax+a−y+1 এবং A=4x−3.2x+2…’ ঢাকা বোর্ড ২০২২ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $M=\frac{1}{a^y+a^{-z}+1}+\frac{1}{a^z+a^{-x}+1}+\frac{1}{a^x+a^{-y}+1}$

এবং $x+y+z=0$

এখন, $M=\frac{1}{a^y+a^{-z}+1}+\frac{1}{a^z+a^{-x}+1}+\frac{1}{a^x+a^{-y}+1}$

বা, $M=\frac{a^{-y}}{a^y\cdot a^{-y}+a^{-z}\cdot a^{-y}+a^{-y}}+\frac{a^x}{a^z\cdot a^x+a^{-x}\cdot a^x+a^x}+\frac{1}{a^x+a^{-y}+1}$

বা, $M=\frac{a^{-y}}{1+a^{-(y+z)}+a^{-y}}+\frac{a^x}{a^{(x+z)}+1+a^x}+\frac{1}{a^x+a^{-y}+1}$

বা, $M=\frac{a^{-y}}{1+a^{-(-x)}+a^{-y}}+\frac{a^x}{a^{-y}+1+a^x}+\frac{1}{a^x+a^{-y}+1}[\because x+y+z=0]$

বা, $M=\frac{a^{-y}}{1+a^x+a^{-y}}+\frac{a^x}{1+a^x+a^{-y}}+\frac{1}{1+a^x+a^{-y}}$

বা, $M=\frac{a^{-y}+a^x+1}{1+a^x+a^{-y}}=\frac{1+a^x+a^{-y}}{1+a^x+a^{-y}}=1$

$\therefore M=1$. (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $A=4^x-3\cdot 2^{x+2}$

এখন, $A=-32$ হলে, $4^x-3\cdot 2^{x+2}=-32$

বা, ${\left(2^2\right)}^x-3\cdot 2^x\cdot 2^2+32=0$

বা, ${\left(2^x\right)}^2-12\cdot 2^x+32=0$

বা, $y^2-12y+32=0$ [ধরি, $2^x=y$ ]

বা, $y^2-8y-4y+32=0$

বা, $y(y-8)-4(y-8)=0$ বা, $(y-8)(y-4)=0$

হয়, $y-8=0$

বা, $y=8$

বা, $2^x=8=2^3$

বা, $x=3$

অথবা, $y-4=0$

বা, $y=4$

বা, $2^x=4=2^2$

বা, $x=2$

নির্ণেয় মান: $x=2,3$