সৃজনশীলঃ ‘M=−5+12−1,p=a+ib3 এবং q=x+iy…’ যশোর বোর্ড ২০২২ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

এখানে, $M=-5+12\sqrt{-1}$

বা,$M=-5+12i[\because i^2=-1]$

বা,$M=4-9+12i$

বা,$M=4+9i^2+12i$

বা, $M=(2{)}^2+2\cdot 2\cdot 3i+(3i{)}^2$

বা, $M=(2+3i{)}^2$

$\therefore \sqrt{M}=\pm \sqrt{(2+3i{)}^2}=\pm (2+3i)$

নির্ণয় বর্গমূল $=\pm (2+3i)$. 

দেওয়া আছে. $p=\sqrt[3]{a+ib}$ এবং $q=x+iy$

এখন, $p=q$ হলে

$\sqrt[3]{a+ib}=x+iy$

বা,$a+ib=(x+iy{)}^3$ [ঘন করে]

বা,$a+ib=x^3+3x^2$. iy $+3x(iy{)}^2+(iy{)}^3$.

বা,$a+ib=x^3+3x^{2}y\cdot i-3x{y}^2-i{y}^3[i^3=-i]$

বা,$a+ib=x^3-3x{y}^2+(3x^{2}y-y^3)i$

উভয়পক্ষ হতে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই,

$a=x^3-3x{y}^2$ এবং $b=3x^{2}y-y^3$

এখন, $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=\frac{x^3-3x{y}^2}{x}+\frac{3x^{2}y-y^3}{y}$

বা,$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=x^2-3y^2+3x^2-y^2$

বা,$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=4x^2-4y^2$

বা,$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=4(x^2-y^2)$

$\therefore 4(x^2-y^2)=\frac{a}{x}+\frac{b}{y}($ প্রমাণিত)