সৃজনশীলঃ ‘গণিত ২য় পত্রে…’ সরকারি হাজী মুহাম্মদ মহসিন কলেজ ২০২৬ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)={\mathrm{px}}^2+\mathrm{qx}+1$

$p=1,q=2$ হলে, $f\left(x\right)=1\cdot x^2+2\cdot x+1$
$=(x{)}^2+2\cdot x\cdot 1+(1{)}^2=(x+1{)}^2$

$\therefore \left\{f\right(x){\}}^{\frac{n}{2}}={\left\{\right(x+1{)}^2\}}^{\frac{n}{2}}$
$=(1+x{)}^n$এর বিস্তৃতিতে সাধারণ পদ,

$T_{r+1}={}^n{C}_r{x}^r$

$\therefore (r+1)$ তম পদের সহগ $={}^n{C}_r$
এবং $(r+3)$ তম পদ বা, $\left\{\right(r+2)+1\}$ তম পদের সহগ $={}^n{C}_{r+2}$
শর্তমতে, ${}^n{C}_r={}^n{C}_{r+2}$
বা, $\frac{n!}{r!(n-r)!}=\frac{n!}{(r+2)!(n-r-2)!}$
বা, $\frac{n!}{r!(n-r)(n-r-1)(n-r-2)!}=\frac{n!}{(r+2)(r+1)r!(n-r-2)!}$
বা, $\frac{1}{(n-r)(n-r-1)}=\frac{1}{(r+2)(r+1)}$
বা, $(n-r)(n-r-1)=(r+1)(r+2)$
বা, $n^2-\mathrm{nr}-n-\mathrm{nr}+r^2+r=r^2+2r+r+2$
বা. $n^2-2nr-n+r+r^2-r^2-3r-2=0$
বা, $n^2-2nr-n-2r-2=0$
বা, $n^2-n-2-2nr-2r=0$
বা, $n^2-2n+n-2-2r(n+1)=0$
বা, $n(n-2)+1(n-2)-2r(n+1)=0$
বাঁ, $(n-2)(n+1)-2r(n+1)=0$
বা, $(n+1)(n-2-2r)=0$
বা, $n-2-2r=0[\because n\ne -1$; কারণ $n\in N]$
বা, $n-2=2r$
$\therefore 2r=n-2$ [দেখানো হলো]

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)={\mathrm{px}}^2+\mathrm{qx}+1$ এবং $g\left(x\right)={\mathrm{qx}}^2+\mathrm{px}+1$

$f\left(x\right)=0$ হলে, ${\mathrm{px}}^2+\mathrm{qx}+1=0$ i
$g\left(x\right)=0$ হলে, ${\mathrm{qx}}^2+\mathrm{px}+1=0$ ...................... (ii)

ধরি, (i) নং ও (ii) নং সমীকরণের সঠিক মূলটি $\alpha$

$\therefore p{\alpha }^2+q\alpha +1=0$ ...................... (iii)

এবং $q{\alpha }^2+p\alpha +1=0$ ...................... (iv)
(iii) নং সমীকরণের থেকে (iv) নং বিয়োগ করে পাই,

$(p-q){\alpha }^2+(q-p)\alpha =0$

বা, $(p-q){\alpha }^2-(p-q)\alpha =0$
বা, $(p-q)({\alpha }^2-\alpha )=0$
বা, ${\alpha }^2-\alpha =0$
বা, $\alpha (\alpha -1)=0$
বা, $\alpha -1=0[\alpha \ne 0]$

$\therefore \alpha =1$

এখন, $f\left(x\right)={\mathrm{px}}^2+\mathrm{qx}+1=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha ,\beta$ হলে,

$\alpha +\beta =-\frac{q}{p}$ এবং $\alpha \beta =\frac{1}{p}$

বা, $\beta =\frac{1}{p\alpha }$
(v) নং সমীকরণে $\alpha =1$ বসিয়ে পাই,

$\beta =\frac{1}{p\cdot 1}$
$\therefore \beta =\frac{1}{p}$ (দেখানো হলো)