সৃজনশীলঃ ‘mathrm{P}(mathrm{x})=4 mathrm{x}^3-4 mathrm{Cx}^2-frac{mathrm{C}}{3}…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২২ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $P\left(x\right)=4x^3-4C{x}^2-\frac{C}{3}x+C$

এখানে, $(2x-1)=2(x-\frac{1}{2})$,

$P\left(x\right)$ দ্বারা বিভাজ্য হলে $P\left(\frac{1}{2}\right)=0$ হবে।

শর্তমতে, $P\left(\frac{1}{2}\right)=0$

বা, $4{\left(\frac{1}{2}\right)}^3-4C{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{C}{3}\left(\frac{1}{2}\right)+C=0$

বা, $4\times \frac{1}{8}-4C\times \frac{1}{4}-\frac{C}{6}+C=0$

বা, $\frac{1}{2}-\frac{C}{6}=0$ বা, $\frac{C}{6}=\frac{1}{2}$ বা, $C=\frac{6}{2}=3$

$\therefore C=3$

নির্ণেয় মান : C=3

এখন, $P\left(x\right)=4x^3-4{\mathrm{Cx}}^2-\frac{C}{3}x+C$

$\begin{array}{cc}& =4x^3-4\times 3x^2-\frac{3}{3}x+3[\because c=3]\\ & =4x^3-12x^2-x+3=4x^3-2x^2-10x^2+5x-6x+3\\ & =2x^2(2x-1)-5x(2x-1)-3(2x-1)\\ & =(2x-1)(2x^2-5x-3)=(2x-1)(2x^2+x-6x-3)\\ & =(2x-1)\left\{x\right(2x+1)-3(2x+1\left)\right\}\\ & =(2x-1)(2x+1)(x-3)\end{array}$ 

$\therefore P\left(x\right)$ এর অন্যান্য উৎপাদকগুলো হলো : $(2x+1)$ এবং $(x-3)$. 

দেওয়া আছে, $P\left(x\right)=4x^3-4C{x}^2-\frac{C}{3}x+C$

$C=3$  হলে, $P\left(x\right)=4x^3-4\times 3x^2-\frac{3}{3}x+3=4x^3-12x^2-x+3$ 
$\therefore P\left(1\right)=4\cdot 1^3-12\cdot 1^2-1+3=4-12+2=-6$

'খ' হতে প্রাপ্ত, $P\left(x\right)=(2x-1)(2x+1)(x-3)$
এখন, $\frac{P\left(1\right)}{P\left(x\right)}=\frac{-6}{(2x+1)(2x-1)(x-3)}$
মনে করি, $\frac{-6}{(2x+1)(2x-1)(x-3)}=\frac{A}{2x+1}+\frac{B}{2x-1}+\frac{C}{x-3}$$...\left(i\right)$

উভয়পক্ষকে $(2x+1)(2x-1)(x-3)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$-6\equiv A(2x-1)(x-3)+B(2x+1)(x-3)+C(2x+1)(2x-1)$$...\left(ii\right)$

যা $x$ এর সকল বাস্তব মানের জন্য সত্য।
এখন, $\left(ii\right)$ নং এর উভয়পক্ষে $x=\frac{1}{2}$ বসিয়ে পাই, 

$\begin{array}{c}-6=A(2\times \frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-3)+B(2\times \frac{1}{2}+1)(\frac{1}{2}-3)\\ +C(2\times \frac{1}{2}+1)(2\times \frac{1}{2}-1)\end{array}$ 

বা, $-6=A\times 0+B(1+1)\times \frac{-5}{2}+C\times 0=-5B$ 

$\therefore B=\frac{6}{5}$ 

(ii) নং এর উভয়পক্ষে $x=-\frac{1}{2}$ বসিয়ে পাই, 

$\begin{array}{cc}-6=A\{2(-\frac{1}{2})-1\}& (-\frac{1}{2}-3)+B\{2(-\frac{1}{2})+1\}\\ & (-\frac{1}{2}-3)+C\{2(-\frac{1}{2})+1\}\{2(-\frac{1}{2})-1\}\end{array}$ 

বা,$-6=A(-2)\left(\frac{-7}{2}\right)+B\times 0+C\times 0=7A$
$\therefore A=-\frac{6}{7}$

আবার, $\left(ii\right)$ নং এর উভয়পক্ষে $x=3$ বসিয়ে পাই,

$\begin{array}{c}-6=A(2\times 3-1)(3-3)+B(2\times 3+1)(3-3)\\ +C(2\times 3+1)(2\times 3-1)\end{array}$

বা, $-6=A\times 0+B\times 0+C\times 7\times 5=35C$

$\therefore C=\frac{-6}{35}$

এখন, $\left(i\right)$ নং এ A, B ও C এর মান বসিয়ে পাই,

$\begin{array}{cc}& \frac{-6}{(2x+1)(2x-1)(x-3)}=\frac{\frac{-6}{7}}{(2x+1)}+\frac{\frac{6}{5}}{(2x-1)}+\frac{\frac{-6}{35}}{(x-3)}\\ \therefore & \frac{P\left(1\right)}{P\left(x\right)}=-\frac{6}{7(2x+1)}+\frac{6}{5(2x-1)}-\frac{6}{35(x-3)}\end{array}$

এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশিত রূপ।