সৃজনশীলঃ ‘মনে করি, কয়েকটি…’ নটরডেম কলেজ ২০২৫ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

 দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=0$
বা, $a{x}^2+bx+c=0$$.......\left(i\right)$
ধরি, $\left(i\right)$ নং এর একটি মূল $3\alpha$
$\therefore a(3\alpha {)}^2+b(3\alpha )+c=0$
বা, $9a{\alpha }^2+3b\alpha +c=0$$.......\left(ii\right)$
এবং $g\left(x\right)=0$
বা, $c{x}^2+bx+a=0$$.......\left(iii\right)$

ধরি, $\left(iii\right)$ নং এর একটি মূল $\alpha$

$c{\alpha }^2+b\alpha +a=0$ দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=0$
বা, $a{x}^2+bx+c=0$$.......\left(i\right)$
ধরি, $\left(i\right)$ নং এর একটি মূল $3\alpha$
$\therefore a(3\alpha {)}^2+b(3\alpha )+c=0$
বা, $9a{\alpha }^2+3b\alpha +c=0$$.......\left(ii\right)$
এবং $g\left(x\right)=0$
বা, $c{x}^2+bx+a=0$$.......\left(iii\right)$

ধরি, $\left(iii\right)$ নং এর একটি মূল $\alpha$

$c{\alpha }^2+b\alpha +a=0$$.......\left(iv\right)$

$\left(iii\right)$ ও  $\left(iv\right)$ নং হতে  বজ্রগুণনের নিয়মানুসারে পাই,

 $\frac{{\alpha }^2}{3ab-bc}=\frac{\alpha }{c^2-9a^2}=\frac{1}{9ab-3bc}$ 

${(c^2-9a^2)}^2=(3ab-bc)(9ab-3bc)$$[\because \frac{x^2}{a}=\frac{x}{b}=\frac{1}{c}$ হলে , $b^2=ac]$

বা, ${(9a^2-c^2)}^2=b(3a-c)\cdot 3b(3a-c)$
বা, $(3a+c{)}^2(3a-c{)}^2=3b^2(3a-c{)}^2$
বা, $(3a+c{)}^2(3a-c{)}^2-3b^2(3a-c{)}^2=0$
বা, $(3a-c{)}^2\left\{\right(3a+c{)}^2-3b^2\}=0$ 

অথবা, $(3a+c{)}^2-3b^2=0$
বা, $(3a+c{)}^2=3b^2$ 

হয়   , $(3a-c{)}^2=0$
বा, $3a-c=0$
বा, $3a=c$ 

$\therefore c=3a$ অথবা $3b^2=(c+3a{)}^2$. ( দেখানো হলো) 

দেওয়া আছে, $h\left(x\right)=0$

বা, $x^3+3a{x}^2+x+1=0$$......\left(i\right)$

মূলগুলো সমান্তর প্রগমণভুক্ত। 

ধরি, মূলগুলো  $b-d,b,b+d$

$\therefore$ মূল তিনটির যোগফল $=b-d+b+b+d=3b$

প্রশ্নমতে, $3b=-3a$ 

বা, $b=-a$ 

b একটি মূল 

$\therefore$$x=-a$  

(i) নং এ $x=-a$ বসিয়ে পাই, $(-a{)}^3+3a(-a{)}^2+(-a)+1=0$

বা, $-a^3+3a^3-a+1=0$

বা, $2a^3-a+1=0$

বा, $2a^3+2a^2-2a^2-2a+a+1=0$

বা, $2a^2(a+1)-2(a+1)+1(a+1)=0$

বা, $(a+1)(2a^2-2a+1)=0$ 

হয়, a+1=0. 

$\therefore a=-1$ 

অথবা, $2a^2-2a+1=0$ 

$\therefore$ একটি মূল  $b=-a=-(-1)=1$ 

$a=-1$ হলে, $\left(i\right)$ নং সমীকরণ হতে পাই, $x^3-3x^2+x+1=0$

বা, $x^3-3x^2+x+1=0$ বা, $x^3-x^2-2x^2+2x-x+1=0$

বা, $x^2(x-1)-2x(x-1)-1(x-1)=0$ বা, $(x^2-2x-1)(x-1)=0$

হয়, $x^2-2x-1=0$

বा, $x=\frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-1)}}{2\cdot 1}$ 

অথবা, $x-1=0$ 

$\therefore x=1$ 

$=\frac{2\pm \sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=1\pm \sqrt{2}=1+\sqrt{2},1-\sqrt{2}$ 

নির্ণেয় $a=-1$ এবং মূলগুলো $1-\sqrt{2},1,1+\sqrt{2}$.