সৃজনশীলঃ ‘…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২১ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

ধরি, উপবৃত্তের সমীকরণ:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ......... (i) ( যেখানে a>b)

দেওয়া আছে,

উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ${\mathrm{Ss}}^{\prime }=4\sqrt{3}$

$\Rightarrow 2\mathrm{ae}=4\sqrt{3}$

$\Rightarrow$ ae $=2\sqrt{3}..........\left(ii\right)$

নিয়ামক রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, ${\mathrm{zZ}}^{\prime }=14\sqrt{3}$

$\Rightarrow 2\frac{a}{e}=14\sqrt{3}$

$\Rightarrow \frac{a}{e}=7\sqrt{3}........\left(iii\right)$

(iii) $÷$ (ii)

$\frac{\frac{a}{e}}{\mathrm{ae}}=\frac{7\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\Rightarrow \frac{1}{e^2}=\frac{7}{2}$

$\Rightarrow e=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}..........\left(iv\right)$

e এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই, $\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}}=7\sqrt{3}$

$\Rightarrow a=7\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}=\sqrt{42}$

(iv) নং হতে পাই, e $=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$

$\Rightarrow e^2=\frac{2}{7}\Rightarrow \frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{2}{7}\Rightarrow 1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{2}{7}$

$\Rightarrow \frac{b^2}{42}=1-\frac{2}{7}=\frac{5}{7}$

$\Rightarrow b^2=\frac{5}{7}\times 42=30$

a ও b এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই, $\frac{x^2}{42}+\frac{y^2}{30}=1$

ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।

দেওয়া আছে,

পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র, S (2, - 3)

পরাবৃত্তের শীর্যবিন্দু, A $(-1,1)$

নিয়ামকের Z বিন্দু ও উপকেন্দ্র S

এর মধ্যবিন্দু A হলে,

ধরি, $Z$ এর স্থানাঙ্ক $(x,y)$

$\frac{x+2}{2}=-1$ এবং $\frac{y-3}{2}=1$

$\Rightarrow x+2=-2\Rightarrow y-3=2$

$\Rightarrow x=-4\Rightarrow y=5$

$\therefore Z$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-4,5)$

ZS রেখার সমীকরণ:

$\frac{x+4}{-4-2}=\frac{y-5}{5+3}$

$\Rightarrow \frac{x+4}{-6}=\frac{y-5}{8}$

$\Rightarrow 4x+16=-3y+15$

$\Rightarrow 4x+3y+1=0$

নিয়ামক MZ রেখা ZS এর উপর লম্ব।

$\therefore$ (i) নং এর উপর লম্বরেখারে সমীকরণ,

$3x-4y+k=0$

ইহা $Z(-4,5)$ বিन্দুগামী হলে,

(ii) $\Rightarrow -12-20+k=0$

$\Rightarrow k=32$

$k$ এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

$3x-4y+32=0$

ইহাই নির্ণেয় নিয়ামক রেখার সমীকরণ।