সৃজনশীলঃ ‘…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২১ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

ধরি, $AB$ সরল রেখার সমীকরণ,

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1---\left(1\right)$

যেখানে $OA=a$ এবং $OB=b$

দেওয়া আছে, $OA-OB=3$

বা, $a-b=3$

বা, $a=b+3---\left(2\right)$

আবার (1) নং রেখাটি $C(10-2)$ বিন্দুগামী হওয়ায়,

$\frac{10}{a}+\frac{-2}{b}=1$

$\Rightarrow \frac{10}{b+3}-\frac{2}{b}=1\left[\right(2)$ হতে]

$\Rightarrow \frac{10b-2b-6}{b(b+3)}=1$

$\Rightarrow b^2+3b=8b-6$

$\Rightarrow b^2-5b+6=0$

$\Rightarrow b^2-2b-3b+6=0$

$\Rightarrow b(b-2)-3(b-2)=0$

$\Rightarrow (b-2)(b-3)=0$

$\therefore b=2$ অথবা, 3

(2) নং এ $b$ এর মান বসিয়ে পাই, $b=2$ হলে, $a=2+3=5$

$b=3$ হলে, $a=3+3=6$

(1) নং এ $a,b$ এর মান বসিয়ে পাই,

$a=5$ এবং $\therefore b=2$ হলে,

$\frac{x}{5}+\frac{y}{2}=1$

$\Rightarrow 2x+5y=10$

আবার, $a=6$ এবং $b=3$ হলে,

$\frac{x}{6}+\frac{y}{3}=1$

$\Rightarrow x+2y=6$

নির্ণেয় সমীকরণ, $x+2y=6$

অথবা, $2x+5y=10$.

ধরি, $(4,1)$ বিন্দুগামী রেখা,

$y-1=m(x-4)---\left(1\right)$

যেখানে, ঢাল $=m$

এখানে, $C(10,-2)$ এবং $D(2,0)$

$CD$ রেখার ঢাল, $m_1=\frac{0+2}{2-10}=\frac{2}{-8}=\frac{1}{-4}$

(1) নং রেখা ও $CD$ রেখার মধ্যবর্তী কোণ ${45}^{\circ }$ হলে,

$\tan {45}^{\circ }=\pm \frac{m-m_1}{1+m\cdot m_1}$

$\Rightarrow 1=\pm \frac{m+\frac{1}{4}}{1-\frac{m}{4}}$

$\Rightarrow 1=\pm \frac{4m+1}{4-m}$

(+) চিহ্ন নিয়ে পাই,

$4-m=4m+1$

$\Rightarrow -m-4m=1-4$

$\Rightarrow -5m=-3$

$\therefore m=\frac{3}{5}$

(-) চিহ্ন নিয়ে পাই,

$4-m=-4m-1$

$\Rightarrow -m+4m=-1-4$

$\Rightarrow 3m=-5$

$\therefore m=-\frac{5}{3}$

(1) নং এ $m$ এর মান বসিয়ে পাই,

$m=\frac{3}{5}$ হলে,

$y-1=\frac{3}{5}(x-4)$

$\Rightarrow 5y-5=3x-12$

$\Rightarrow 3x-5y-12+5=0$

$\therefore 3x-5y-7=0$

এবং $m=-\frac{5}{3}$ হলে,

$y-1=\frac{-5}{3}(x-4)$

$\Rightarrow 3y-3=5x+20$

$\Rightarrow 5x+3y-3-20=0$

$\therefore 5x+3y-23=0$

$\therefore$ নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ,

$3x-5y-7=0,5x+3y-23=0$