সৃজনশীলঃ ‘…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২২ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,
মূলবিন্দু $O(0,0)$ হতে $AB$ রেখার উপর অঙ্কিত লম্ব $OC$ এবং $X$-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে এর উৎপন্ন কোণ $\alpha ={45}^{\circ }$।
ধরি, লম্বের দৈর্ঘ্য $OC=p$।

আমরা জানি, মূলবিন্দু হতে কোনো সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য $p$ এবং লম্বটি $X$-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $\alpha$ কোণ উৎপন্ন করলে সরলরেখাটির সমীকরণ হয়:

$x\cos \alpha +y\sin \alpha =p$

মান বসিয়ে পাই:

$x\cos {45}^{\circ }+y\sin {45}^{\circ }=p$

$\Rightarrow x\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+y\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=p$

$\Rightarrow \frac{x+y}{\sqrt{2}}=p$

$\Rightarrow x+y=p\sqrt{2}$

$\Rightarrow \frac{x}{p\sqrt{2}}+\frac{y}{p\sqrt{2}}=1$

এই সমীকরণ থেকে দেখা যায়, $AB$ রেখাটি $X$-অক্ষকে $A(p\sqrt{2},0)$ বিন্দুতে এবং $Y$-অক্ষকে $B(0,p\sqrt{2})$ বিন্দুতে ছেদ করে।
সুতরাং, $X$-অক্ষের খণ্ডিত অংশ $OA=p\sqrt{2}$ এবং $Y$-অক্ষের খণ্ডিত অংশ $OB=p\sqrt{2}$।

দেওয়া আছে, $\Delta AOB$-এর ক্ষেত্রফল $=8$ বর্গ একক।

$\Rightarrow \frac{1}{2}\times OA\times OB=8$

$\Rightarrow \frac{1}{2}\times \left(p\sqrt{2}\right)\times \left(p\sqrt{2}\right)=8$

$\Rightarrow \frac{1}{2}\times 2p^2=8$

$\Rightarrow p^2=8$

$\Rightarrow p=2\sqrt{2}$

(যেহেতু দূরত্ব ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই ধনাত্মক মান নেওয়া হলো)

এখন $p$-এর মান $x+y=p\sqrt{2}$ সমীকরণে বসিয়ে পাই:

$x+y=\left(2\sqrt{2}\right)\times \sqrt{2}$

$x+y=4$

অতএব, AB রেখার নির্ণেয় সমীকরণ: $x+y-4=0$

∠ BAX এর সমদ্বিখন্ডক রেখার সমীকরণ নির্ণয়

'খ' হতে পাই, $AB$ রেখার সমীকরণ: $x+y-4=0$ এবং $A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(4,0)$।
চিত্রে $AX$ রেখাটি হলো $X$-অক্ষ, যার সমীকরণ: $y=0$।

$AB$ এবং $AX$ রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণগুলোর সমদ্বিখণ্ডক রেখাসমূহের সমীকরণ:

$\frac{x+y-4}{\sqrt{1^2+1^2}}=\pm \frac{y}{\sqrt{0^2+1^2}}$

$\Rightarrow \frac{x+y-4}{\sqrt{2}}=\pm y$

$\Rightarrow x+y-4=\pm \sqrt{2}y$

এখান থেকে আমরা দুটি সমীকরণ পাই:

(+) চিহ্ন নিয়ে: $x+(1-\sqrt{2})y-4=0$ ......... (i)
(-) চিহ্ন নিয়ে: $x+(1+\sqrt{2})y-4=0$ ......... (ii)

এখন আমাদের বের করতে হবে কোনটি $\angle BAX$ এর সমদ্বিখণ্ডক।

$AX$ রশ্মি ধনাত্মক $X$-অক্ষ বরাবর অবস্থিত, যার উৎপন্ন কোণ $0^{\circ }$।
$AB$ রেখার ($x+y-4=0$) ঢাল, $m=-1=\tan {135}^{\circ }$। অর্থাৎ, $AB$ রশ্মি ধনাত্মক $X$-অক্ষের সাথে ${135}^{\circ }$ কোণ উৎপন্ন করে।

সুতরাং, $\angle BAX$ এর অন্তর্বর্তী সমদ্বিখণ্ডক রেখাটি ধনাত্মক $X$-অক্ষের সাথে $\frac{0^{\circ }+{135}^{\circ }}{2}={67.5}^{\circ }$ কোণ উৎপন্ন করবে।
অর্থাৎ, নির্ণেয় সমদ্বিখণ্ডক রেখার ঢাল হবে, $\tan {67.5}^{\circ }$ যা একটি ধনাত্মক মান ($\tan {67.5}^{\circ }=\sqrt{2}+1$)।

প্রাপ্ত সমীকরণ দুটির ঢাল পরীক্ষা করে দেখি:

সমীকরণ (i)-এর ঢাল $=-\frac{1}{1-\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\sqrt{2}+1$ (ধনাত্মক)
সমীকরণ (ii)-এর ঢাল $=-\frac{1}{1+\sqrt{2}}=1-\sqrt{2}$ (ঋণাত্মক)

যেহেতু $\angle BAX$ এর সমদ্বিখণ্ডকের ঢাল ধনাত্মক, তাই সমীকরণ (i) হলো নির্ণেয় রেখা।

অতএব, ∠ BAX এর সমদ্বিখন্ডক রেখার সমীকরণ: $x+(1-\sqrt{2})y-4=0$