সৃজনশীলঃ ‘…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২২ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ : এ মনে করি, OA, OB বরাবর যথাক্রনে $P,Q$

বলদ্বয় $3\theta$ কোণে ক্রিয়ারত এবং লব্ধি R বল OA

রেখার সাথে $\theta$ কোণ উৎপন্ন করে।

এখান, $\alpha =3\theta$

$\angle \mathrm{AOB}=3\theta$

$\angle \mathrm{AOC}=\theta$

$\therefore \angle \mathrm{BOC}=2\theta =\angle \mathrm{OCA}$

এখন, AOC ত্রিভুজ হতে সাইন সূত্রানুসারে পাই,

$\frac{P}{\sin \angle \mathrm{OCA}}=\frac{Q}{\sin \angle AOC}=\frac{R}{\sin \{\pi -(\angle \mathrm{OCA}+\angle \mathrm{AOC}\left)\right\}}$

বা, $\frac{P}{\sin 2\theta }=\frac{Q}{\sin \theta }=\frac{R}{\sin (x-3\theta )}$

$\therefore$ ১ম ও ২য় অনুপাত় হতে পাই, $\frac{P}{\sin 2\theta }=\frac{Q}{\sin \theta }$

বা, $\frac{P}{Q}=\frac{\sin 2\theta }{\sin \theta }=\frac{2\sin \theta \cos \theta }{\sin \theta }=2\cos \theta$ বা, $\frac{P}{2Q}=\cos \theta$

আবার, ২য় ও ৩য় অনুপাত হতে পাই, $\frac{Q}{\sin \theta }=\frac{R}{\sin 3\theta }$

বা, $R=\frac{Q\sin 3\theta }{\sin \theta }=\frac{Q(3\sin \theta -4{\sin }^3\theta )}{\sin \theta }$

$=Q(3-4{\sin }^2\theta )=Q\{(3-4(1-{\cos }^2\theta )\}$

$\therefore =Q(3-4+4{\cos }^2\theta )=Q(-1+4\cdot \frac{P^2}{4Q^2})$

$=Q(-1+\frac{P^2}{Q^2})=Q\left(\frac{P^2-Q^2}{Q^2}\right)$

$\therefore R=\frac{P^2-Q^2}{Q}$ (প্রমাণিত)

দৃশ্যকল্প-২ হত়ে পাই, $\mathrm{AB}=20m$

এখানে, $10N$ ও $5N$ বলদ্বয় যথাক্রম A ও B

বিন্দুতে ক্রিয়াশীল এবং এদের লব্ধি C বিন্দুতে

ক্রিয়াশীল এবং $A{B}^{\circ }=20$ মিটার।

$\therefore 10\times \mathrm{AC}=5\times \mathrm{BC}$

বা, $\mathrm{AC}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}=\frac{\mathrm{AC}+\mathrm{BC}}{1+2}=\frac{\mathrm{AB}}{3}$

আবার, বলদ্বয় স্থান বিনিময় করলে, লব্ধি $\mathrm{AB}$ বরাবর $\mathrm{CD}=x$ দূরত্ব সরে যায়।

$\therefore 5\times \mathrm{AD}=10\times \mathrm{BD}$ বা, $\mathrm{AD}=2\mathrm{BD}$

বা, $\frac{AD}{2}=BD=\frac{AD+BD}{1+2}=\frac{AB}{3}$.

বা, $\mathrm{AD}=\frac{2}{3}\mathrm{AB}$

(ii) নং হতে (i) নং বিয়োগ করে পাই,

$\mathrm{AD}-\mathrm{AC}=\frac{2}{3}\mathrm{AB}-\frac{\mathrm{AB}}{3}$

বা, $\mathrm{CD}=\frac{1}{3}\mathrm{AB}$

বা, $x=\frac{1}{3}\times 20$

$\therefore x=6.67m$

অতএব, দৃশ্যকল্প-২ এ বলদ্বয় স্থান বিনিময় করলে তাদের লব্ধি $\mathrm{AB}$ বরাবর $6.67m$ দূরে সরে যাবে।