সৃজনশীলঃ ‘…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২২ – ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

প্রশ্নমতে,

${\cos }^{2}A+{\cos }^{2}B+{\cos }^{2}C+2\cos A\cos B\cdot \cos C$

$=\frac{1}{2}(2{\cos }^{2}A+2{\cos }^{2}B)+{\cos }^{2}C+2\cos A\cdot \cos B\cdot \cos C$

$=\frac{1}{2}(1+\cos 2A+1+\cos 2B)+{\cos }^{2}C+2\cos A\cdot \cos B\cdot \cos C$

$=\frac{1}{2}(2+2\cos (A+B)\cdot \cos (A-B)+{\cos }^{2}C+2\cos \cdot \cos B\cdot \cos C$

$=1+\cos (\pi -c)\cdot \cos (A-B)+{\cos }^{2}C+2\cos A\cos B\cdot \cos C$

$=1\cos C\cdot \cos (A-B)+{\cos }^{2}C+2\cos A\cos B\cos C$

$=1-\cos C[\cos (A-B)-\cos C]+2\cos A\cdot \cos B\cdot \cos C$

$=1-\cos C[\cos (A-B)-\cos (\pi -(A+b)]+2\cos A\cdot \cos B\cdot \cos C$

$=1-\cos C[\cos (A-B)+\cos (A+B\left)\right]+2\cos A\cdot \cos B\cdot \cos C$

$=1-2\cos A\cdot \cos B\cdot \cos C+2\cos A\cdot \cos A\cdot \cos B\cdot \cos C$

$=1$

দেওয়া আছে, $A={60}^{\circ }$

ত্রিভুজের সাইন সূত্রানুসারে,

$\begin{array}{cc}& \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\\ & \therefore a=2R\sin A,b=2R\sin B,c=2R\sin C\end{array}$

এখন, $\frac{b+c}{2a}=\frac{2R\sin B+2R\sin C}{2.2R\sin A}$

$\begin{array}{cc}& =\frac{\sin B+\sin C}{2\sin A}=\frac{2\sin \frac{B+C}{2}\cos \frac{B-C}{2}}{2\cdot 2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}}\\ & =\frac{\sin \left(\frac{\pi -A}{2}\right)\cos \frac{B-C}{2}}{2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}}[\because A+B+C=\pi ]\\ & =\frac{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B-C}{2}}{2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}}=\frac{\cos \frac{B-C}{2}}{2\sin {30}^{\circ }}[\because A={60}^{\circ }]\end{array}$

বা, $\frac{b+c}{2a}=\cos \frac{B-C}{2}$
$\therefore \cos \frac{B-C}{2}=\frac{b+c}{2a}$. (দেখানো হলো)