সৃজনশীলঃ ‘…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৩ – জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

বিশেষ নির্বচন : দেওয়া আছে, BCE ত্রিভুজের CE বাহু A ও P বিন্দুতে তিনটি সমান অংশে বিভক্ত হয়েছে অর্থাৎ, $\mathrm{AC}=\mathrm{AP}=\mathrm{PE}$.

প্রমাণ করতে হবে যে, ${\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{BE}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BP}}^2+4{\mathrm{AP}}^2$.

প্রমাণ: $△\mathrm{BCP}$-এ, $\mathrm{AC}=\mathrm{AP}$ [দেওয়া আছে]

তাহলে, $\mathrm{AB},△\mathrm{BCP}$ এর মধ্যমা যা CP কে A বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

$\therefore {\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{BP}}^2=2{\mathrm{AB}}^2+2{\mathrm{AP}}^2$

আবার, $\mathrm{BP},△\mathrm{ABE}$ এর মধ্যমা যা AE কে P বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

$\therefore {\mathrm{BE}}^2+{\mathrm{AB}}^2=2{\mathrm{BP}}^2+2{\mathrm{AP}}^2$

(i)নং ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

${\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{BP}}^2+{\mathrm{BE}}^2+{\mathrm{AB}}^2=2{\mathrm{AB}}^2+2{\mathrm{AP}}^2+2{\mathrm{BP}}^2+2{\mathrm{AP}}^2$

বা, ${\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{BE}}^2=2{\mathrm{AB}}^2+2{\mathrm{AP}}^2+2{\mathrm{BP}}^2+2{\mathrm{AP}}^2-{\mathrm{BP}}^2-{\mathrm{AB}}^2$

$\therefore {\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{BE}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BP}}^2+4{\mathrm{AP}}^2$. (প্রমাণিত)

মনে করি, বৃত্তে BCDE একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ। BD এবং CE দুইটি কর্ণ এবং $\angle \mathrm{CBD}=\angle \mathrm{EBP}$ যেখানে BP রেখাংশ $\mathrm{CE}-$ কে P বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ করতে হবে যে, $\mathrm{BD}\cdot \mathrm{CE}=\mathrm{BC}\cdot \mathrm{DE}+$ CD.BE

প্রমাণ : চিত্র হতে পাই, $\angle \mathrm{CBD}=\angle \mathrm{EBP}$ প্রত্যেকের সাথে $\angle \mathrm{PBD}$ যোগ করে পাই, $\angle \mathrm{CBD}+\angle \mathrm{PBD}=\angle \mathrm{EBP}+\angle \mathrm{PBD}$ বা, $\angle \mathrm{CBP}=\angle \mathrm{DBE}$

এখন, $△\mathrm{BCP}$ এবং $△\mathrm{BDE}$ এ $\angle \mathrm{CBP}=\angle \mathrm{DBE}$

বা, $\angle \mathrm{BCP}=\angle \mathrm{BDE}$ [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ]

$\therefore △\mathrm{BCP}$ এবং $△\mathrm{BDE}$ সদৃশকোণী।

$\therefore \frac{\mathrm{CP}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BD}}$

অর্থাৎ, $\mathrm{BD}\cdot \mathrm{CP}=\mathrm{BC}\cdot \mathrm{DE}$ ......... (i)

আবার, $△\mathrm{BCD}$ এবং $△\mathrm{BPE}$ এ $\angle \mathrm{CBD}=\angle \mathrm{EBP}$ [অঙ্কনানুসারে] $\angle \mathrm{BEP}=\angle \mathrm{BDC}$ [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ]

$\therefore △\mathrm{BCD}$ এবং $△\mathrm{BPE}$ সদৃশকোণী

$\therefore \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{EP}}{\mathrm{CD}}$

বা, $\mathrm{BE}\cdot \mathrm{CD}=\mathrm{BD}\cdot \mathrm{EP}$ ......... (ii)

সমীকরণ (i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই,

$\mathrm{BD}.\mathrm{CP}-\mathrm{BE}.\mathrm{CD}=\mathrm{BC}.\mathrm{DE}-\mathrm{BD}.\mathrm{EP}$

বা, $\mathrm{BD}\cdot \mathrm{CP}+\mathrm{BD}\cdot \mathrm{EP}-\mathrm{BE}\cdot \mathrm{CD}=\mathrm{BC}\cdot \mathrm{DE}$

বা, $\mathrm{BD}(\mathrm{CP}+\mathrm{EP})-\mathrm{BE}\cdot \mathrm{CD}=\mathrm{BC}\cdot \mathrm{DE}$

বা, $\mathrm{BD}\cdot \mathrm{CE}-\mathrm{CD}\cdot \mathrm{BE}=\mathrm{BC}\cdot \mathrm{DE}[\because \mathrm{CP}+\mathrm{EP}=\mathrm{CE}]$

সুতরাং CD.BE + BC.DE = CE.BD (প্রমাণিত)