সৃজনশীলঃ ‘…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৫ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, উপবৃত্তটির কেন্দ্র $(3,0)$

$\therefore$ বৃহৎ অক্ষ $x$-অক্ষ বরাবর হলে উপবৃত্তের সমীকরণ,

$\frac{(x-3{)}^2}{a^2}+\frac{(y-0{)}^2}{b^2}=1$

বা, $\frac{(x-3{)}^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ........ (i)

(i)নং উপবৃত্তটি $A(-2,0)$ এবং $B(0,2)$ বিন্দুগামী।

$\therefore \frac{(-2-3{)}^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1$

বা, $\frac{a^2}{a^2}=1$

বা, $a^2=25$

$\therefore a=5......\left(ii\right)$

আবার, $\frac{(0-3{)}^2}{a^2}+\frac{2^2}{b^2}=1$

বা, $\frac{9}{5^2}+\frac{4}{b^2}=1$

বা, $\frac{4}{b^2}=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$

বা, $\frac{b^2}{4}=\frac{25}{16}$

বা, $b^2=\frac{25}{4}$

$\therefore b=\frac{5}{2}$

$\therefore$ উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{\frac{25}{4}}{25}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

নির্ণেয় উৎকেন্দ্রিকতা $\frac{\sqrt{3}}{2}$

উদ্দীপক হতে, AB রেখাটি $x$ -অক্ষকে $A(-2,0)$ ও $B(0,2)$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

$\therefore \mathrm{AB}$ এর সমীকরণ, $\frac{x}{-2}+\frac{y}{2}=1$

বা, $x-y=-2$

বা, $x-y+2=0$$$

মূলবিন্দু হতে AB রেখার লম্ব দূরত্ব, $d=\left|\frac{0+0+2}{\sqrt{1^2+1^2}}\right|$

বা, $d=\frac{2}{\sqrt{2}}$

$\therefore d=\sqrt{2}$

আবার, AB রেখার সমান্তরাল রেখার সমীকরণ,

$x-y+k=0.........\left(2\right)$

(1) ও (2) মধ্যবর্তী দূরত্ব, $d=\sqrt{2}$

$\therefore \left|\frac{k-2}{\sqrt{1^2+1^2}}\right|=\sqrt{2}$

বা, $\frac{k-2}{\sqrt{2}}=\pm \sqrt{2}$

বা, $k-2=\pm 2$

বা, $k=\pm 2+2$

${}^{\prime }{+}^{\prime }$ চিহ্ন নিয়ে পাই,

$k=4$

${}^{\prime }{-}^{\prime }$ চিহ্ন নিয়ে পাই,

k = 0 [যা মূল বিন্দুগামী রেখা নির্দেশ করে]

$\therefore$ k এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$x-y+4=0$

$\therefore$ নিয়ামক রেখার সমীকরণ, $x-y+4=0$

উপকেন্দ্র S(0, 0)

ধরি, পরাবৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু P(x, y)

$\therefore$ পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, $SP=PM$

বা, $S{P}^2=P{M}^2$

বা, $(x-0{)}^2+(y-0{)}^2={\left|\frac{x-y+4}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}\right|}^2$

বা, $x^2+y^2=\frac{(x-y+4{)}^2}{2}$

বা, $2x^2+2y^2=x^2+y^2+16-2xy-8y+8x$

বা, $x^2+y^2+2xy-8x+8y-16=0$

বা, $(x+y{)}^2-8x+8y-16=0$

নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ, $(x+y{)}^2-8x+8y-16=0$.