সৃজনশীলঃ ‘M=sin⁡θ এবং N=cos⁡θ.…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৩ – ত্রিকোণমিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $M=\sin \theta$

$N=\cos \theta$

এখন, $12M^2+23N=22$

বা, $12{\sin }^2\theta +23\cos \theta =22$

বা, $12(1-{\cos }^2\theta )+23\cos \theta =22$

বা, $12-12{\cos }^2\theta +23\cos \theta =22$

বা, $12{\cos }^2\theta -23\cos \theta +10=0$

বা, $12{\cos }^2\theta -15\cos \theta -8\cos \theta +10=0$

বা, $3\cos \theta (4\cos \theta -5)-2(4\cos \theta -5)=0$

বা, $(4\cos \theta -5)(3\cos \theta -2)=0$

হয়, $4\cos \theta -5=0$

বা, $\cos \theta =\frac{5}{4}$ (গ্রহণযোগ্য নয়)

অথবা, $3\cos \theta -2=0$

$\therefore \cos \theta =\frac{2}{3}$

এখন, $\sin \theta =\pm \sqrt{1-{\cos }^2\theta }$

বা, $\sin \theta =\pm \sqrt{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}$

বা, $\sin \theta =\pm \sqrt{1-\frac{4}{9}}$

বা, $\sin \theta =\pm \frac{\sqrt{5}}{3}$

বা, $\sin \theta =-\frac{\sqrt{5}}{3}[\because \frac{3\pi }{2}<\theta <2\pi ]$

$\therefore \tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}}$

$=-\frac{\sqrt{5}}{3}\times \frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}(Ans.)$

দেওয়া আছে, $M=\sin \theta ,N=\cos \theta$

এবং $\frac{2}{N^2}+\frac{M^2}{N^2}=3$

বা, $\frac{2}{{\cos }^2\theta }+\frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }=3$

বা, $2{\sec }^2\theta +{\tan }^2\theta =3$

বা, $2(1+{\tan }^2\theta )+{\tan }^2\theta =3$

বা, $2+2{\tan }^2\theta +{\tan }^2\theta =3$

বা, $3{\tan }^2\theta =1$

বা, ${\tan }^2\theta =\frac{1}{3}$

বা, $\tan \theta =\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

$\tan \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}$ হলে,

১ম চতুর্ভাগে, $\tan \theta =\tan \frac{\pi }{6}$

$\tan \theta =-\frac{1}{\sqrt{3}}$ হলে, $\tan \theta =-\tan \frac{\pi }{6}$

২য় চতুর্ভাগে, $\tan \theta =\tan (\pi -\frac{\pi }{6})$

$=\tan \frac{5\pi }{6}$

৩য় চতুর্ভাগে, $\tan \theta =\tan (\pi +\frac{\pi }{6})$

$\tan \theta =\tan \frac{7\pi }{6}$

$\therefore \theta =\frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{6}$

আবার,

৪র্থ চতুর্ভাগে,

$\tan \theta =\tan (2\pi -\frac{\pi }{6})=\tan \frac{11\pi }{6}$

সুতরাং, $\theta =\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}$ (Ans.)