সৃজনশীলঃ ‘mx2+nx+l=0,lx2+nx+m=0…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০১৭ – যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$\begin{array}{c}{\mathrm{mx}}^2+\mathrm{nx}+l=0\\ l{x}^2+\mathrm{nx}+m=0\end{array}$

মনে করি, α সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল।

$\therefore m{\alpha }^2+n\alpha +l=0$ ......... (i)

$l{\alpha }^2+n\alpha +m=0$

________________________________________

(-) করে, ${\alpha }^2(m-l)+l-m=0$
বা, ${\alpha }^2(m-l)-(m-l)=0$
বা,  $(m-l)({\alpha }^2-1)=0$
কিন্তু $m-l\ne 0$

$\therefore {\alpha }^2-1=0$ বা, $\alpha =\pm 1$

এখন, (i) নং হতে পাই,

$m(\pm 1{)}^2+n(\pm 1)+l=0$

বা, $m\pm n+l=0$

$\therefore m+l=\pm n$ (দেখানো হলো)

${\mathrm{mx}}^2+\mathrm{nx}+l=0$ সমীকরণটির মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ হলে,

$\begin{array}{cc}& \alpha +\beta =\frac{-n}{m}\\ & \alpha \beta =\frac{l}{m}\end{array}$

এখন, $ml(x^2+1)-(n^2-2ml)x=0$
বা, $\frac{ml(x^2+1)}{m^2}-\frac{1}{m^2}(n^2-2ml)x=0[m^2$  দ্বারা ভাগ করে]
বা, $\frac{l}{m}(x^2+1)-(\frac{n^2}{m^2}-2\frac{l}{m})x=0$
বা, $\frac{l}{m}(x^2+1)-\{{\left(\frac{-n}{m}\right)}^2-2\frac{l}{m}\}x=0$
বা, $\alpha \beta (x^2+1)-\left\{\right(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta \}x=0$
বা, $\alpha \beta x^2+\alpha \beta -{\alpha }^{2}x-{\beta }^{2}x=0$
বা, $\alpha \beta x^2-{\alpha }^{2}x+\alpha \beta -{\beta }^{2}x=0$
বা, $\alpha x(\beta x-\alpha )-\beta (\beta x-\alpha )=0$
বা, $(\beta x-\alpha )(\alpha x-\beta )=0$
$\therefore \beta x-\alpha =0$ অথবা, $\alpha x-\beta =0$
বা, $x=\frac{\alpha }{\beta }$ বা, $x=\frac{\beta }{\alpha }$

$\therefore$ মূল দুইটি $\frac{\alpha }{\beta }$ এবং $\frac{\beta }{\alpha }$ (Ans.)