সৃজনশীলঃ ‘mx2+nx+l=0,lx2+nx+m=0 দুইটি দ্বিঘাত…’ ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল অ্যান্ড কলেজ ২০২৬ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, ${\mathrm{mx}}^2+\mathrm{nx}+l=0$ এবং $l{x}^2+\mathrm{nx}+m=0$ দুইটি দ্বিঘাত সমীকরণ যাদের একটি সাধারণ মূল বিদ্যমান।

মনে করি, সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল $\alpha$.

$\therefore m{\alpha }^2+n\alpha +l=0$

এবং $l{\alpha }^2+n\alpha +m=0$

(i)নং ও (ii)নং সমীকরণ হতে বজ্রগুণন সূত্রানুসারে,

$\frac{{\alpha }^2}{\mathrm{nm}-\ln }=\frac{\alpha }{l^2-m^2}=\frac{1}{\mathrm{mn}-\ln }$

$\therefore$$\frac{{\alpha }^2}{\mathrm{nm}-\ln }=\frac{\alpha }{l^2-m^2}$

বা, $\frac{\alpha }{n(m-l)}=\frac{1}{-(m+l)(m-l)}$ dা, $\alpha =-\frac{n}{l+m}$

আবার, $\frac{{\alpha }^2}{mn-ln}=\frac{1}{mn-ln}$

বা, ${\alpha }^2=1$

বা, ${(-\frac{n}{l+m})}^2=1$

বা, $\frac{n^2}{(l+m{)}^2}=1$

বা, $(l+m{)}^2=n^2$

$\therefore l+m=\pm n$. (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,

${\mathrm{mx}}^2+\mathrm{nx}+l=0$

সমীকরণটির মূলদ্বয় $\alpha ,\beta$

$\therefore \alpha +\beta =-\frac{n}{m}$ এবং $\alpha \beta =\frac{l}{m}$

এখানে, $ml(x^2+1)$ -$(n^2-2\mathrm{ml})x=0$

বা, $\frac{l}{m}(x^2+1)+(2\cdot \frac{l}{m}-\frac{n^2}{m^2})x=0[m^2$ দ্বারা ভাগ করে]

বা, $\alpha \beta (x^2+1)+\{2\alpha \beta -(\alpha +\beta {)}^2\}x=0$

বা, $\alpha \beta (x^2+1)-\left\{\right(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta \}x=0$

বা, $\alpha \beta (x^2+1)-\{({\alpha }^2+{\beta }^2)x=0$

বা, $\alpha \beta x^2+\alpha \beta -{\alpha }^{2}x-{\beta }^{2}x=0$

বা, $\alpha \beta x^2-{\alpha }^{2}x-{\beta }^{2}x+\alpha \beta =0$

বা, $\alpha x(\beta x-\alpha )-\beta (\beta x-\alpha )=0$

বা, $(\beta x-\alpha )(\alpha x-\beta )=0$

$\therefore$ হয় $\beta x-\alpha =0$

বা, $\beta x-\alpha$

$x=\frac{\alpha }{\beta }$

অথবা, $\alpha x-\beta =0$

বা, $\alpha x=\beta$

$\therefore x=\frac{\beta }{\alpha }$

$\therefore$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha ,\beta$ এর মাধ্যমে প্রকাশ করা হলো।

নির্ণেয় মূলদ্বয় : $\frac{\alpha }{\beta },\frac{\beta }{\alpha }$