সৃজনশীলঃ ‘m=x+3y−12r=2x+1−y এবং s=2y−x−4…’ কুমিল্লা ক্যাডেট কলেজ ২০২৫ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ,

$m=x+3y-12$

এবং $m=0$

বা, $x+3y-12=0$

বা, $x+3y=12$

বা, $\frac{x}{12}+\frac{y}{4}=1$

(i) নং রেখাটি $x$ অক্ষকে $A(12,0)$ এবং $y$ অক্ষকে $B(0,4)$ বিন্দুতে ছেদ কর। ধরি, P ও Q বিন্দুদ্বয় AB কে সমান তিনভাগে ভাগ করে। তাহলে P বিন্দু AB কে $1:2$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

$\therefore P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $=(\frac{1\times 0+2\times 12}{1+2},\frac{1\times 4+2\times 0}{1+2})=(8,\frac{4}{3})$

এবং $Q$ বিন্দু $AB$ কে $2:1$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

$\therefore Q$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $=(\frac{2\times 0+1\times 12}{2+1},\frac{2\times 4+1\times 0}{2+1})=(4,\frac{8}{3})$

এখানে, মূলবিন্দু $O(0,0)$

এখন, মূলবিন্দু $O(0,0)$ এবং $P(8,\frac{4}{3})$ বিন্দুর সংযোজক রেখা OP এর সমীকরণ, $y=\frac{y_2}{x_2}x$

বা, $y=\frac{\frac{4}{3}}{8}x=\frac{4}{3\times 8}\dot{x}=\frac{1}{6}x\therefore x-6y=0$

আবার, মূলবিন্দু $O(0,0)$ এবং $Q(4,\frac{8}{3})$ বিন্দুর সংযোজক রেখা

OQ এর সমীকরণ, $y=\frac{y_2}{x_2}x$

বা, $y=\frac{\frac{8}{3}}{4}x=\frac{2}{3}x$

বা, $3y=2x\therefore 2x-3y=0$

নির্ণেয় সমীকরণ, $x-6y=0$ এবং $2x-3y=0$.

দেওয়া আছে, $r=2x+1-y$ এবং $s=2y-x-4$

এখানে, r=0

বা, $2x+1-y=0$

বা, $2x-y+1=0$ ...... (i)

এবং $s=0$

বা, $2y-x-4=0$ বা, $-x+2y-4=0$

$\therefore x-2y+4=0$. ......... (ii)

(i) নং এবং (ii) নং রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ, $\frac{2x-y+1}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\pm \frac{x-2y+4}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}$

বা, $\frac{2x-y+1}{\sqrt{5}}=\pm \frac{x-2y+4}{\sqrt{5}}$

বা, $2x-y+1=\pm (x-2y+4)$

(+) চিহ্ন নিয়ে, $2x-y+1=x-2y+4$

বা, $2x-y+1-x+2y-4=0$

বা, $x+y-3=0$. ......(iii)

এবং $(-)$ চিহ্ন নিয়ে, $2x-y+1=-(x-2y+4)$

বা, $2x-y+1+x-2y+4=0$

বা, $3x-3y+5=0$$$

(iii) নং (iv) নং রেখা y অক্ষকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। y-অক্ষের উপর যেকোনো বিন্দুর $x$-স্থানাঙ্ক (ভুজ) শূন্য।

$\therefore$ (iii) নং হতে, $0+y-3=0$

বা, $y-3=0$

$\therefore y=3\therefore P(0,3)$

(iv) নং হতে, $3.0-3y+5=0$

বা, $3y=5$

$\therefore y=\frac{5}{3}\therefore Q(0,\frac{5}{3})$

সুতরাং $\mathrm{PQ}=3-\frac{5}{3}=\frac{9-5}{3}=\frac{4}{3}$ একক

নির্ণেয় PQ এর দৈর্ঘ্য $=\frac{4}{3}$ একক।