সৃজনশীলঃ ‘নিচে তিনটি ভেক্টর…’ বরিশাল বোর্ড ২০২১ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

$\hat{l}$ ও $\hat{ȷ}$হচ্ছে যথাক্রমে X ও Y অক্ষর বরাবর আয়ত একক ভেক্টর যেহেতু X ও Y অক্ষ পরস্পর 900 কোণ অবস্থিত তাই বলা যায় i o z এর মধ্যবর্তী কোন ও হচ্ছে 90^o

ধরি, $\overrightarrow{A}=\hat{ı}\therefore A=|\overrightarrow{A}|=\sqrt{1^2}=1$

এবং  $\overrightarrow{B}=\hat{ȷ}\therefore B=|\overrightarrow{B}|=\sqrt{1^2}=1$

এখন $\begin{array}{cc}\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}& =\hat{ı}\cdot \hat{ȷ}\\ & =(1\hat{ı}+0\hat{ȷ})\cdot (0\hat{ı}+1\hat{ȷ})\\ & =1\cdot 0+0\cdot 1\\ & =0+0\\ & =0\end{array}$

আবার,

$\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=\mathrm{AB}\cos \theta$

$\Rightarrow 0=1.1\cos \theta$ [মান বসিয়ে]

$\Rightarrow \cos \theta =0$

$\Rightarrow \theta ={90}^{\circ }$

সুতরাং, $\hat{l}$ ও $\hat{ȷ}$এর মধ্যবর্তী কোণ 90⁰ এর চেয়ে কম হওয়া সম্ভব নয়।

ধরি, $\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{C}$ এর মধ্যবর্তী কোণ = θ

দেওয়া আছে, 

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{A}=2\hat{ı}+3\hat{ȷ}+4\hat{k}\\ & \begin{array}{cc}\therefore |\overrightarrow{A}|& =A\\ & =\sqrt{(2{)}^2+(3{)}^2+(4{)}^2}\\ & =\sqrt{4+9+16}\\ & =\sqrt{29}\end{array}\end{array}$

এবং

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{C}=4\hat{ı}+2\hat{ȷ}-3\hat{k}\\ & \begin{array}{cc}\therefore |\overrightarrow{C}|& =A\\ & =\sqrt{(4{)}^2+(2{)}^2+(-3{)}^2}\\ & =\sqrt{16+4+9}\\ & =\sqrt{29}\end{array}\end{array}$আমরা জানি,

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{C}=\mathrm{AC}\cos \theta \\ \Rightarrow & (2\hat{ı}+3\hat{ȷ}+4\hat{k})\cdot (4\hat{ı}+2\hat{ȷ}-3\hat{k})=\sqrt{29}\cdot \sqrt{29}\cos \theta \\ \Rightarrow & 8+6-12=29\cos \theta \\ \Rightarrow & \cos \theta =\frac{2}{29}\\ \Rightarrow & \theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{2}{29}\right)\\ \theta =& {86.04}^{\circ }\end{array}$

সুতরাং $\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{C}$ এর মধ্যবর্তী কোণ 86.04^o।

ভেক্টর $\overrightarrow{A}$ ও $\overrightarrow{B}$ পরস্পর একই দিকে ক্রিয়াশীল তাদের মধ্যবর্তী কোণ হবে 0⁰।

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{A}=2\hat{ı}+3\hat{ȷ}+4\hat{k}\\ & \therefore |\overrightarrow{A}|=A\\ & =\sqrt{(2{)}^2+(3{)}^2+(4{)}^2}\\ & =\sqrt{4+9+16}\\ & =\sqrt{29}\end{array}$

$\begin{array}{cc}|\overrightarrow{B}|=B& =\sqrt{(5{)}^2+(-1{)}^2+(6{)}^2}\\ & =\sqrt{25+1+36}\\ & =\sqrt{62}\end{array}$

এখন, $\begin{array}{cc}\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}& =(2\hat{ı}+3\hat{ȷ}+4\hat{k})\cdot (5\hat{ı}-\hat{ȷ}+6\hat{k})\\ & =10-3+24\\ & =31\end{array}$

আমরা জানি, 

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=\mathrm{AB}\cos \theta \\ & \Rightarrow 31=\sqrt{29}\sqrt{62}\cos \theta \\ & \Rightarrow \cos \theta =\frac{31}{\sqrt{29\times 62}}\\ & \therefore \theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{31}{\sqrt{1798}}\right)={43.02}^{\circ }\end{array}$

এখানে, $\theta \ne 0^0$

সুতরাং $\overrightarrow{A}$  এবং $\overrightarrow{B}$  পরস্পর একই দিকে ক্রিয়াশীল নয়।