সৃজনশীলঃ ‘নিচের চিত্রে △PQR…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৪ – জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, $△\mathrm{PQR}$ এর লম্ববিন্দু O , পরিকেন্দ্র M এবং PA একটি মধ্যমা। লম্ববিন্দু O এবং পরিকেন্দ্র M এর সংযোগ রেখা PA মধ্যমাকে $L$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

M, A যোগ করলে MA রেখা QR এর উপর লম্ব। প্রমাণ করতে হবে যে, $\mathrm{PL}=2\mathrm{AL}$ ।

প্রমাণ : $△\mathrm{PQR}$ এর লম্ববিন্দু O থেকে P শীর্ষের দূরত্ব OP এবং পরিকেন্দ্র M থেকে P শীর্ষের বিপরীত বাহু QR এর দূরত্ব MA।

$\therefore \mathrm{OP}=2\mathrm{MA}\dots \dots$ (i)

এখন যেহেতু PB ও MA উভয়ই QR এর উপর লম্ব সেহেতু PB || MA । এখন PB || MA এবং PA এদের ছেদক। সুতরাং একান্তর কোণ হওয়ায় $\angle \mathrm{APB}=\angle \mathrm{PAM}$. অর্থাৎ, $\angle \mathrm{OPL}=\angle \mathrm{MAL}$ ।

এখন $△\mathrm{PLO}$ এবং $△\mathrm{ALM}$ এর মধ্যে

$\angle \mathrm{PLO}=\angle \mathrm{ALM}$ [বিপ্রতীপ কোণ]

$\angle \mathrm{OPL}=\angle \mathrm{MAL}$ [একান্তর কোণ]

∴ অবশিষ্ট $\angle \mathrm{POL}=$ অবশিষ্ট $\angle \mathrm{AML}$

$\therefore △\mathrm{PLO}$ এবং $△\mathrm{ALM}$ সদৃশকোণী।

সুতরাং $\frac{\mathrm{PL}}{\mathrm{AL}}=\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{MA}}$ অর্থাৎ, $\frac{\mathrm{PL}}{\mathrm{AL}}=\frac{2\mathrm{MA}}{\mathrm{MA}}$ [(i) নং সমীকরণ হতে]

বা, $\frac{\mathrm{PL}}{\mathrm{AL}}=\frac{2}{1}$ সুতরাং $\mathrm{PL}=2\mathrm{AL}$ (প্রমাণিত)

মনে করি, $△\mathrm{PQR}$-এ

$\mathrm{PB}\perp \mathrm{QR}$ এবং $\mathrm{QC}\perp \mathrm{PR}$

$△\mathrm{PBR}$ ও QCR-এ

$\angle \mathrm{PBR}=\angle \mathrm{QCR}={90}^{\circ }$ [দেওয়া আছে]

$\angle R$ সাধারণ সূক্ষ্মকোণ

$\therefore △\mathrm{PBR}$ ও $△\mathrm{QCR}$ সদৃশকোণী।

$\therefore \frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{BR}}$

বা, $\mathrm{QR}\cdot \mathrm{BR}=\mathrm{PR}\cdot \mathrm{CR}$

∴ সমীকরণটি প্রতিষ্ঠিত হলো। (Ans.)