সৃজনশীলঃ ‘নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ…’ শহীদ সৈয়দ নজরুল ইসলাম কলেজ ২০২৬ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত সমীকরণ, $4x+3y-12=0$

বা, $4x+3y=12$

বা, $\frac{4x}{12}+\frac{3y}{12}=1$

বা, $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$

এখানে, সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে A(3, 0) এবং B(0, 4) বিন্দুতে ছেদ করে। P ও Q বিন্দুদ্বয় AB কে সমান তিনভাগে ভাগ করে। P বিন্দু AB কে 1: 2 অনুপাতে বিভক্ত করে।

$\therefore P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $=(\frac{1\times 0+2\times 3}{1+2},\frac{1\times 4+2\times 0}{1+2})$

$=(\frac{6}{3},\frac{4}{3})=(2,\frac{4}{3})$

$\therefore$ OP রেখার সমীকরণ, $\frac{x-0}{0-2}=\frac{y-0}{0-\frac{4}{3}}$

বা, $\frac{x}{-2}=\frac{y}{-\frac{4}{3}}$

বা, $\frac{4}{3}x=2y$

বা, $4x=6y$

বা, $4x-6y=0$

$\therefore 2x-3y=0.......\left(1\right)$

আবার, Q বিন্দু AB কে $2:1$ অনুপাতে বিভক্ত করে।

$\therefore Q$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $=(\frac{2\times 0+1\times 3}{2+1},\frac{2\times 4+1\times 0}{2+1})$

$=(\frac{3}{3},\frac{8}{3})$

$=(1,\frac{8}{3})$

QR রেখার সমীকরণ, $\frac{x-0}{0-1}=\frac{y-0}{0-\frac{8}{3}}$

বা, $\frac{x}{-1}=\frac{y}{\frac{-8}{3}}$

বা, $\frac{8}{3}x=y$

বা, $8x=3y$

$\therefore 8x-3y=0$

নির্ণেয় সমীকরণ, $2x-3y=0$ এবং $8x-3y=0$.

দেওয়া আছে, $4x+3y-12=0$ ......... (1)

(1) নং এর লম্বরেখার সমীকরণ, $3x-4y+k=0$ ........ (2)

(2) নং সরলরেখা $(-1,-2)$ বিন্দুগামী।

$\therefore -3+8+k=0$

বা, $5+k=0$

$\therefore k=-5$

∴ (2) নং হতে পাই, $3x-4y-5=0$ ......... (3)

(1) নং এর (3) নং সরলরেখার ছেদবিন্দুই হবে অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দু।

(1) নং কে 4 দ্বারা এবং (3) নং কে 3 দ্বারা গুণ করে প্রাপ্ত সমীকরণদ্বয় যোগ করে পাই,

$16x+12y-48+9x-12y-15=0$

বা, $25x-63=0$

বা, $25x=63$

$\therefore x=\frac{63}{25}$

$x$ এর মান (1)নং এ বসিয়ে পাই,

$4\times \frac{63}{25}+3y-12=0$

বা, $3y-\frac{48}{25}=0$

বা, $3y=\frac{48}{25}$

$\therefore y=\frac{16}{25}$

নির্ণেয় পাদবিন্দু $(\frac{63}{25},\frac{16}{25})$.