সৃজনশীলঃ ‘নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ্য…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০১৭ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়াআছে, z = x + iy

এখন, $|z+5|+|z-5|=15$

বা, $|x+iy+5|+|x+iy-5|=15$

বা, $|x+5+iy|+|x-5+iy|=15$

বা, $\sqrt{(x+5{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-5{)}^2+y^2}=15$

বা, $\sqrt{(x+5{)}^2+y^2}=15-\sqrt{(x-5{)}^2+y^2}$

বা, $x^2+10x+25+y^2=225$ $+(x^2-10x+25+y^2)-30\sqrt{(x-5{)}^2+y^2}$ [বর্গকরে]

বা, $x^2+10x+25+y^2-225-x^2+10x-25-y^2$
$=-30\sqrt{x^2-10x+25+y^2}$

বা, $20x-225=-30\sqrt{x^2-10x+25+y^2}$

বা, $4x-45=-6\sqrt{x^2-10x+25+y^2}$

বা, $16x^2-360x+2025=36(x^2-10x+25+y^2)$

বা, $16x^2-360x+2025=36x^2-360x+900+36y^2$

বা, $20x^2+36y^2=1125$

বা, $\frac{x^2}{{\left(\frac{15}{2}\right)}^2}+\frac{y^2}{{\left(\frac{5\sqrt{5}}{2}\right)}^2}=1$
যা নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ

প্রদত্ত অসমতা $\frac{2x+3}{x-3}<\frac{x+3}{x-1}$

বা, $\frac{2x+3}{x-3}-\frac{x+3}{x-1}<0$

বা, $\frac{(2x^2+3x-2x-3)-(x^2-9)}{(x-3)(x-1)}<0$

বা, $\frac{(2x^2+3x-2x-3)-(x^2-9)}{(x-3)(x-1)}<0$

বা, $\frac{(2x^2+3x-2x-3)-(x^2-9)}{(x-3)(x-1)}<0$

বা, $\frac{x^2+2\cdot \frac{1}{2}\cdot x+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+6-\frac{1}{4}}{(x-3)(x-1)}<0$

বা,$\frac{{(x+\frac{1}{2})}^2+\frac{23}{4}}{(x-3)(x-1)}<0$

এখন ${(x+\frac{1}{2})}^2+\frac{23}{4}>0$

$\therefore (x-3)$ ও $(x-1)$ এর মধ্যে একটির চিহ্ন ধনাত্মক এবং অপরটির চিহ্ন ঋণাত্মক হলে (i) অসমতাটির শর্ত সিদ্ধ করে।

$\therefore$ (i) অসমতাটি সত্য হবে যদি $1<x<3$ হয়।
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান : $1<x<3$