সৃজনশীলঃ ‘…’ নটরডেম কলেজ ২০২৪ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

এখানে, $\mathrm{AC}:\mathrm{CB}=5:3$

অর্থাৎ, $AB$রেখা $C$বিন্দুতে $5:3$ বিন্দুতে অন্তর্বিভক্ত হয়।

$\therefore C$বিন্দুর স্থানাঙ্ক $=(\frac{5\times 9+3\times 1}{5+3},\frac{5(-12)+3\times 4}{5+3})$

$=(\frac{48}{8},\frac{-48}{8})=(6,-6)$

$\therefore Q$বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0,-6)$

$\mathrm{AB}$রেখার সমীকরণ: $\frac{x-9}{9-1}=\frac{y+12}{-12-4}$

বা, $\frac{x-9}{8}=\frac{y+12}{-16}$

বা, $-2x+18=y+12$

বা, $2x+y-6=0$

বা, $2x+y=6$

$\therefore \frac{x}{3}+\frac{y}{6}=1$

$\therefore P$বিন্দুর স্থানাঙ্ক$=(3,0)$

এখন, $\mathrm{OP}=3$ একক, $\mathrm{CQ}=6$ একক

আবার, $\mathrm{OQ}=|-6|$একক $=6$ (একক

$\mathrm{OPCQ}$চতুর্ভুজের ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্র $=\frac{1}{2}(\mathrm{OP}+\mathrm{CQ})\times \mathrm{OQ}$

$=\left\{\frac{1}{2}\right(3+6)\times 6\}$বর্গ একক

$=9\times 3$বর্গ একক =27 বর্গ একক

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল27 বর্ণ একক।

‘খ' হতে, $P$বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(3,0)$এবং $Q$বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0,-6)$

$\therefore \mathrm{PQ}$রেখার সমীকরণ, $\frac{x}{3}+\frac{y}{(-6)}=1$

বা, $2x-y=6$

$\therefore 2x-y-6=0$

$\mathrm{PQ}$রেখার সমান্তরাল রেখার সমীকরণ, $2x-y+k=0$

প্রশ্নমতে, $\frac{|k+6|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\sqrt{5}$

বা, $k+6=\pm 5$

$\therefore k=-1,-11$

$k=-1$ হলে মূলবিন্দু হতে রেখাটির লম্ব দূরত্ব

$=\frac{|2\times 0-0-1|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$একক

$k=-11$ হলে মূলবিন্দু হতে রেখাটির লম্ব দূরত্ব

$=\frac{|2\times 0-0-1|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{11}{\sqrt{5}}$একক

নির্নেয় লম্ব দূরত্ব $\frac{1}{\sqrt{5}}$একক এবং $\frac{11}{\sqrt{5}}$একক।