সৃজনশীলঃ ‘O হলো বৃত্তটির…’ সিলেট বোর্ড ২০১৯ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

এখানে, OA, OB, OC বরাবর ক্রিয়ারত বলত্রয় যথাক্রমে X, Y, Z সম্যাবস্থায় আছে। লামির উপপপাদ্যা অনুযায়ী,

$\frac{X}{\sin BOC}=\frac{Y}{\sin AOC}=\frac{Z}{\sin AOB}$

বা, $\frac{X}{\sin 2A}=\frac{Y}{\sin 2B}=\frac{Z}{\sin 2C}$

[ $\therefore$ কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]

বা, $\frac{X}{2\sin A\cos A}=\frac{Y}{2\sin B\cos B}=\frac{X}{2\sin C\cos C}$

বা, $\frac{X}{\frac{a}{k}\cos A}=\frac{Y}{\frac{b}{k}\cos B}=\frac{X}{\frac{c}{k}\cos C}$

$[△\mathrm{ABC}$ এ $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=K$ (ধরি)

বা, $\frac{X}{a\cos A}=\frac{Y}{b\cos B}=\frac{Z}{c\cos C}$

$\therefore X:Y:Z=a\cos A:B\cos B:c\cos C$. (দেখানো হলো)

ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O। A এবং O যোগ করি যেন তা BC রেখার উপর D বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত হয়।

যেহেতু X, Y, Z সদৃশ সমান্তরাল বল তিনটির লব্ধি 'O’ বিন্দুগামী এবং বল X. A বিন্দুগামী। সেহেতু B ও C বিন্দুগামী ক্রিয়াশীল Y ও $Z$ বলের লব্ধি $Y+Z$ অবশ্যই D বিন্দুগামী হবে।

$\therefore Y.\mathrm{BD}=Z.\mathrm{CD}$

বা, $\frac{Y}{Z}=\frac{CD}{BD}......\left(1\right)$

$△\mathrm{COD}\backsim \frac{CD}{\sin \angle COD}=\frac{OC}{\sin \angle CDO}$

বা, $\frac{CD}{\sin \angle COD}=\frac{OC}{\sin (\pi -\angle BDO)}[\therefore \angle \mathrm{BDO}+\angle \mathrm{CDO}=\pi ]$

বা, $\frac{CD}{\sin \angle COD}=\frac{OB}{\sin \angle BDO}\dots \dots \dots ..\left(2\right)[\therefore \mathrm{OB}=\mathrm{OC}]$

$\therefore \angle \mathrm{BOD}\Theta ,\frac{BD}{\sin \angle BOD}=\frac{OB}{\sin \angle BDO}\dots \dots \left(3\right)$

(2) ও (3) হলে পাই,

$\frac{BD}{\sin \angle BOD}=\frac{CD}{\sin \angle CDO}$

বা, $\frac{CD}{BD}=\frac{\sin \angle COD}{\sin \angle BOD}$

বা, $\frac{CD}{BD}=\frac{\mathrm{Sin}(\pi -\angle AOC)}{\sin (\pi -\angle AOB)}$

$=\frac{\sin \angle AOC}{\sin \angle AOB}$

$=\frac{\sin 2B}{\sin 2C}$ [কেন্দ্রস্থ কোর্ণ বৃত্তস্থ কোকের দ্বিগুণ]

$=\frac{\frac{1}{\mathrm{cosec}2B}}{\frac{1}{\mathrm{cosec}2C}}=\frac{\mathrm{cosec}2C}{\mathrm{cosec}2B}.......\left(4\right)$

সমীকরণ (1) ও (4) হতে পাই,

$\frac{Y}{Z}=\frac{\mathrm{cosec}2C}{\mathrm{cosec}2B}$

$\therefore Y\mathrm{cosec}2B=Z\mathrm{cosec}2C.........\left(5\right)$

অনুরূপভাবে, $Z\mathrm{cosec}2C=X\mathrm{cossec}2A.......\left(6\right)$

এখন, সমীকরণ (5)ও (6) হতে পাই,

$X\mathrm{cosec}2A=Y\mathrm{cosec}2B=Z\mathrm{cosec}2C$.

(দেখানো হলো)