সৃজনশীলঃ ‘O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৩

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PQRS চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত।

উত্তর:

$PE ⊥ QS$ হলে, $PS$ এর লম্ব অভিক্ষেপ $ES$ .

উত্তর:

এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট PQRS একটি বৃত্ত এবং এই বৃত্তে অন্তর্লিখিত PQRS একটি চতুর্ভুজ ।

প্রমাণ করতে হবে যে, ${PQ}^{2} + {QR}^{2} = 2 ({OQ}^{2} + {OP}^{2})$

অঙ্কন : PR এর উপর QL লম্ব অঙ্কন করি।

প্রমাণ : $△ POQ$ এ OP = OQ

[∵ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

$△ POQ$ এ $∠ POQ$ স্থূলকোণ এবং PO রেখার বর্ধিতাংশের উপর OQ রেখার লম্ব অভিক্ষেপ OL.

স্থূলকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে পাই,

${PQ}^{2} = {OP}^{2} + {OQ}^{2} + 2 \cdot OP \cdot OL$ ............ (i)

আবার, $△ QOR$ এ $∠ QOR$ সূক্ষ্মকোণ এবং OR রেখার উপর OQ রেখার লম্ব অভিক্ষেপ OL।

সূক্ষ্মকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে পাই,

${QR}^{2} = {OQ}^{2} + {OR}^{2} - 2 \cdot OR \cdot OL$ ............ (ii)

এখন (i) নং ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

${PQ}^{2} + {QR}^{2} = {OP}^{2} + {OQ}^{2} + 2 \cdot OP \cdot OL + {OQ}^{2} + {OR}^{2} - 2 \cdot OR \cdot OL$

$= 2 {OQ}^{2} + {OP}^{2} + {OR}^{2} + 2 \cdot OP \cdot OL - 2 \cdot OR \cdot OL$

$= 2 {OQ}^{2} + {OP}^{2} + {OP}^{2} + 2 \cdot OP \cdot OL - 2 \cdot OP \cdot OL [∵ OP = OR]$

$= 2 {OQ}^{2} + 2 {OP}^{2} = 2 ({OQ}^{2} + {OP}^{2})$

$∴ {QP}^{2} + {QR}^{2} = 2 ({OQ}^{2} + {OP}^{2}) \cdot$ (প্রমাণিত)

উত্তর:

এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট PQRS একটি বৃত্ত এবং এই বৃত্তে অন্তর্লিখিত PQRS চতুর্ভুজের PR ও QS দুইটি কর্ণ।

PQRS চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো যথাক্রমে PQ ও RS এবং QR ও PS।

প্রমাণ করতে হবে যে, PR. $Q S = P Q . R S + Q R . P S$ |

অঙ্কন : $∠ QPR$ কে $∠ SPR$ থেকে ছোট ধরে নিয়ে P বিন্দুতে PS রেখাংশের সাথে $∠ Q P R$ এর সমান করে $∠ SPT$ আঁকি যেন PT রেখা QS কর্ণকে $T$ বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ : অঙ্কন অনুসারে, $∠ QPR = ∠ SPT$

বা, $∠ QPR + ∠ RPT = ∠ SPT + ∠ RPT [∠ RPT$ যোগ করে]

$∴ ∠ QPT = ∠ RPS$

এখন, $△ PQT$ ও $△ PRS$ এর মধ্যে

$∠ QPT = ∠ RPS, ∠ PQS = ∠ PRS [∵$ একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান $]$ এবং অবশিষ্ট $∠ PTQ =$ অবশিষ্ট $∠ PSR$

$∴ △ PQT$ ও $△ PRS$ সদৃশকোণী।

$∴ \frac{QT}{RS} = \frac{PQ}{PR}$

অর্থাৎ $PR \cdot QT = PQ \cdot RS$ ......... (i)

আবার, $△ PQR$ ও $△ PTS$ এর মধ্যে

$∠ QPR = ∠ SPT$ [অঙ্কন অনুসারে]

$∠ PRQ = ∠ PST [∵$ একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান]

এবং অবশিষ্ট $∠ PQR =$ অবশিষ্ট $∠ PTS$

$∴ △ PQR$ ও $△ PTS$ সদৃশকোণী।

$∴ \frac{PS}{PR} = \frac{ST}{QR}$

বা, $PR . ST = QR . PS$ ......... (ii)

(i) ও (ii) যোগ করে পাই,

$PR \cdot QT + PR \cdot ST = PQ \cdot RS + QR \cdot PS$

বা, $P R (Q T + S T) = P Q . R S + Q R . P S$

$∴ PR \cdot QS = PQ \cdot RS + QR \cdot PS [∵ QT + ST = QS]$

$∴ PR \cdot QS = PQ \cdot RS + QR \cdot PS \cdot$ (প্রমাণিত)

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

সৃজনশীলঃ ‘O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৩ – জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

texthide = ""; texthide = texthide.substring(1) document.write(texthide);

সৃজনশীলঃ ‘O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৩ – জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর