সৃজনশীলঃ ‘ON || BN’…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৩ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই,

$\angle OBN={45}^{\circ }$

$OA=12\mathrm{Km}OB=9\mathrm{km}$

$\therefore \angle AOB={180}^{\circ }-{45}^{\circ }={135}^{\circ }$

আমরা জানি, $\cos \angle AOB=\frac{A{O}^2+O{B}^2-A{B}^2}{2\times OA\times OB}$

$\Rightarrow \cos {135}^{\circ }=\frac{{12}^2+9^2-A{B}^2}{2\times 12\times 9}$

$\Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}}\times 2\times 12\times 9=144+81-A{B}^2$

$\Rightarrow A{B}^2=225+108\sqrt{2}$

$\Rightarrow AB=\sqrt{9(25+12\sqrt{2})}$

$=3\sqrt{(25+12\sqrt{2})}\mathrm{km}$

দৃশ্যকল্প-২ হতে, $T=I+m+n$

$\therefore \frac{1}{T-m}+\frac{1}{T-l}=\frac{3}{T}$

$\Rightarrow \frac{1}{l+m+n-m}+\frac{1}{l+m+n-l}=\frac{3}{l+m+n}$

$\Rightarrow \frac{1}{l+n}+\frac{1}{m+n}=\frac{3}{l+m+n}$

$\Rightarrow \frac{m+n+l+n}{(l+n)(m+n)}=\frac{3}{l+m+n}$

$\Rightarrow \frac{(l+m+n)+n}{(l+n)(m+n)}=\frac{3}{l+m+n}$

$\Rightarrow (l+m+n{)}^2+n(l+m+n)=3(l+n\left)\right(m+n)$

$\Rightarrow l^2+m^2+n^2+2lm+2mn+2nl+nl+nm+n^2=3lm+3ln+3mn+3n^2$

$\Rightarrow l^2+m^2-n^2=lm$

$\Rightarrow \frac{l^2+m^2-n^2}{2lm}=\frac{lm}{2lm}$

$\Rightarrow \cos R=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \cos R=\cos {60}^{\circ }$

$\therefore R={60}^{\circ }$