সৃজনশীলঃ ‘P(0,−1),Q(8,3),R(6,7) এবং S(−2,3)…’ ভিকারুননিসা নূন স্কুল এন্ড কলেজ ২০২৬ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, চারটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে $P(0,-1)$, $Q(8,3),R(6,7)$ এবং $S(-2,3)$ ।

এখানে, PR রেখার সমীকরণ, $\frac{y-y_1}{y_1-y_2}=\frac{x-x_1}{x_1-x_2}$

বা, $\frac{y+1}{-1-7}=\frac{x-0}{0-6}$

বা, $\frac{y+1}{-8}=\frac{x}{-6}$

বা, $-6y-6=-8x$

বা, $8x-6y-6=0$

বা, $2(4x-3y-3)=0$

$\therefore 4x-3y-3=0.....i$

QS রেখার সমীকরণ, $\frac{y-y_1}{y_1-y_2}=\frac{x-x_1}{x_1-x_2}$

বা, $\frac{y-3}{3-3}=\frac{x-8}{8+2}$

বা, $\frac{y-3}{0}=\frac{x-8}{10}$
বা, $y-3=0$

$\therefore y=3.........ii$

(i) নং সমীকরণে $y=3$ বসিয়ে পাই, $4x-(3\times 3)-3=0$

বা, $4x-9-3=0$

বা, $4x-12=0$ বা, $4x=12$ বা, $x=\frac{12}{4}$

$\therefore x=3$

$\therefore$ PR এবং QS এর ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(3,3)$.

[বি:দ্র: A, B, C এবং D এর পরিবর্তে যথাক্রমে P, Q, R এবং S হবে]

এখানে, $A(0,-1),B(8,3),C(6,7)$ এবং $D(-2,3)$ হলো ABCD চতুর্ভুজের শীর্ষীবন্দু।

$xy$ সমতলে বিন্দুগুলোর অবস্থান দেখানো হলো :

AB রেখার সমীকরণ, $\frac{y+1}{x-0}=\frac{-1-3}{0-8}$

বা, $\frac{y+1}{x}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

বা, $x=2y+2$

$\therefore x-2y=2$

AB রেখাটি $x$-অক্ষকে $E$ বিন্দুতে ছেদ করলে, $y=0$

এক্ষেত্রে, $x-2\cdot 0=2$

বা, $x=2$

$\therefore x$ অক্ষ ও AB রেখার ছেদবিন্দু E এর স্থানাঙ্ক $(2,0)$

আবার, CD রেখার সমীকরণ, $\frac{y-7}{x-6}=\frac{7-3}{6-(-2)}$

বা, $\frac{y-7}{x-6}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

বা, $x-6=2y-14$

বা, $x-2y=6-14$

$\therefore x-2y=-8$

CD রেখাটি $y$-অক্ষকে $F$ বিন্দুতে ছেদ করলে, $x=0$

এক্ষেত্রে, $0-2y=-8$

বা, $-2y=-8$

বা, $y=\frac{-8}{-2}=4=4$

$\therefore y$ অক্ষ ও CD রেখার ছেদবিন্দু $F$ এর স্থানাঙ্ক $(0,4)$

এখন, ১ম চতুর্ভাগে $O(0,0),E(2,0),B(8,3),C(6,7)$ ও $F(0,4)$ বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত OEBCF ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccccc}0& 2& 8& 6& 0& 0\\ 0& 0& 3& 7& 4& 0\end{array}\right|$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(0+6+56+24+0-0-0-18-0-0)$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\times 68$ বর্গ একক $=34$ বর্গ একক

অতএব, চতুর্ভুজটির যে অংশ ১ম চতুর্ভাগে অবস্থান করে তার ক্ষেত্রফল 34 বর্গ একক।