সৃজনশীলঃ ‘P=(1531−1612−5),Q=(690),R=(xyz)…’ যশোর বোর্ড ২০২২ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$P=\left[\begin{array}{ccc}1& 5& 3\\ 1& -1& 6\\ 1& 2& -5\end{array}\right]$

এবং $f\left(x\right)=x^2-3x$

আমাদের $f\left(P\right)$ এর মান নির্ণয় করতে হবে। বহুপদীর নিয়ম অনুযায়ী ধ্রুবক পদের সাথে একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স ($I_3$) যুক্ত হবে:

$f\left(P\right)=P^2-3P$

প্রথমে $P^2=P\times P$ নির্ণয় করি:

$P^2=\left[\begin{array}{ccc}1& 5& 3\\ 1& -1& 6\\ 1& 2& -5\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 5& 3\\ 1& -1& 6\\ 1& 2& -5\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}1+5+3& 5-5+6& 3+30-15\\ 1-1+6& 5+1+12& 3-6-30\\ 1+2-5& 5-2-10& 3+12+25\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}9& 6& 18\\ 6& 18& -33\\ -2& -7& 40\end{array}\right]$

এখন, $f\left(P\right)=P^2-3P$ এ মান বসিয়ে পাই:

$f\left(P\right)=\left[\begin{array}{ccc}9& 6& 18\\ 6& 18& -33\\ -2& -7& 40\end{array}\right]-3\left[\begin{array}{ccc}1& 5& 3\\ 1& -1& 6\\ 1& 2& -5\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}9& 6& 18\\ 6& 18& -33\\ -2& -7& 40\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}3& 15& 9\\ 3& -3& 18\\ 3& 6& -15\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}9-3& 6-15& 18-9\\ 6-3& 18-(-3)& -33-18\\ -2-3& -7-6& 40-(-15)\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}6& -9& 9\\ 3& 21& -51\\ -5& -13& 55\end{array}\right]$

$f\left(P\right)=\left[\begin{array}{ccc}6& -9& 9\\ 3& 21& -51\\ -5& -13& 55\end{array}\right]$

দেওয়া আছে,

$P=\left[\begin{array}{ccc}1& 5& 3\\ 1& -1& 6\\ 1& 2& -5\end{array}\right],Q=\left[\begin{array}{c}6\\ 9\\ 0\end{array}\right],R=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$

প্রথমে $P$ এর ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্স $P^T$ নির্ণয় করি:

$P^T=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 5& -1& 2\\ 3& 6& -5\end{array}\right]$

শর্তমতে, $P^{T}R=Q$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 5& -1& 2\\ 3& 6& -5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6\\ 9\\ 0\end{array}\right]$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{c}x+y+z\\ 5x-y+2z\\ 3x+6y-5z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6\\ 9\\ 0\end{array}\right]$

ম্যাট্রিক্সের সমতা অনুসারে আমরা পাই:

$x+y+z=6\dots \dots \left(1\right)$

$5x-y+2z=9\dots \dots \left(2\right)$

$3x+6y-5z=0\dots \dots \left(3\right)$

এখন ক্রেমারের নিয়ম বা নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধান করি:

সহকগুলো নিয়ে গঠিত মূল নির্ণায়ক, $D$:

$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 5& -1& 2\\ 3& 6& -5\end{array}\right|$

$=1\left\{\right(-1\left)\right(-5)-(2\left)\right(6\left)\right\}-1\left\{\right(5\left)\right(-5)-(2\left)\right(3\left)\right\}+1\left\{\right(5\left)\right(6)-(-1\left)\right(3\left)\right\}$

$=1(5-12)-1(-25-6)+1(30+3)$

$=1(-7)-1(-31)+1\left(33\right)$

$=-7+31+33=57$

(যেহেতু $D\ne 0$, তাই সমীকরণ জোটের অনন্য সমাধান আছে)।

$x$ এর সহগের কলামকে ধ্রুবক পদ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে পাই, $D_x$:

$D_x=\left|\begin{array}{ccc}6& 1& 1\\ 9& -1& 2\\ 0& 6& -5\end{array}\right|$

$=6\left\{\right(-1\left)\right(-5)-(2\left)\right(6\left)\right\}-1\left\{\right(9\left)\right(-5)-(2\left)\right(0\left)\right\}+1\left\{\right(9\left)\right(6)-(-1\left)\right(0\left)\right\}$

$=6(5-12)-1(-45)+1\left(54\right)$

$=6(-7)+45+54$

$=-42+99=57$

$y$ এর সহগের কলামকে ধ্রুবক পদ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে পাই, $D_y$:

$D_y=\left|\begin{array}{ccc}1& 6& 1\\ 5& 9& 2\\ 3& 0& -5\end{array}\right|$

$=1\left\{\right(9\left)\right(-5)-(2\left)\right(0\left)\right\}-6\left\{\right(5\left)\right(-5)-(2\left)\right(3\left)\right\}+1\left\{\right(5\left)\right(0)-(9\left)\right(3\left)\right\}$

$=1(-45)-6(-25-6)+1(-27)$

$=-45-6(-31)-27$

$=-45+186-27=114$

$z$ এর সহগের কলামকে ধ্রুবক পদ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে পাই, $D_z$:

$D_z=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 6\\ 5& -1& 9\\ 3& 6& 0\end{array}\right|$

$=1\left\{\right(-1\left)\right(0)-(9\left)\right(6\left)\right\}-1\left\{\right(5\left)\right(0)-(9\left)\right(3\left)\right\}+6\left\{\right(5\left)\right(6)-(-1\left)\right(3\left)\right\}$

$=1(-54)-1(-27)+6(30+3)$

$=-54+27+6\left(33\right)$

$=-27+198=171$

ক্রেমারের সূত্রানুসারে:

$x=\frac{D_x}{D}=\frac{57}{57}=1$

$y=\frac{D_y}{D}=\frac{114}{57}=2$

$z=\frac{D_z}{D}=\frac{171}{57}=3$

নির্ণেয় সমাধান $(x,y,z)=(1,2,3)$