সৃজনশীলঃ ‘P=[211−203231],Q=[210],R=[111121112] এবং X=[xyz]…’ ২০২৬ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছ, $P=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ -2& 0& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right],X=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$

এবং $Q=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right]$

$PX=Q$ হলে,

$\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ -2& 0& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right]$

বা, $\left[\begin{array}{c}2x+y+z\\ -2x+0.y+3z\\ 2x+3y+z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right]$

$\therefore 2x+y+z=2$

$-2x+0.y+3z=1$

$2x+3y+z=0$

$x,y,z$ এর সহগ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক,

$D=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ -2& 0& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right]$

$=2(0-9)-1(-2-6)+1(-6-0)$

$=-18+8-6=-16\ne 0$

∴ সমীকরণ জোটের সমাধান বিদ্যমান

এখন, $D_x=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 0& 3\\ 0& 3& 1\end{array}\right|$

$=2(0-9)-1(1-0)+1(3-0)$

$=-18-1+3=-16$

$D_y=\left|\begin{array}{ccc}2& 2& 1\\ -2& 1& 3\\ 2& 0& 1\end{array}\right|$

$=2(1-0)-2(-2-6)+1(0-2)$

$=2+16-2=16$

$D_z=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 2\\ -2& 0& 1\\ 2& 3& 0\end{array}\right|$

$=2(0-3)-1(0-2)+2(-6-0)$

$=-6+2-12=-16$

$\therefore x=\frac{D_x}{D}=\frac{-16}{-16}=1$

$y=\frac{D_y}{D}=\frac{16}{-16}=-1$

$z=\frac{D_z}{D}=\frac{-16}{-16}=1$

নির্ণেয় মান : $x=1,y=-1$ এবং $z=1$.

দেওয়া আছে, $R=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right]$

$\therefore R=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right|$

$=1(4-1)-1(2-1)+1(1-2$

$=3-1-1=1\ne 0$

$\therefore R^{-1}$ বিদ্যমান।

Adj $R={\left[\begin{array}{ccc}{R}_{11}& R_{12}& R_{13}\\ R_{21}& R_{22}& R_{23}\\ R_{31}& R_{32}& R_{33}\end{array}\right]}^T$

R এর সহগুণকৃসমূহ :

$R_{11}=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right|$

$=4-1=3$

$R_{12}=-\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|$

$=-(2-1)=-1$

$R_{13}=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right|$

$=1-2=-1$

$R_{21}=-\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|$

$=-(2-1)=-1$

$R_{22}=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|$

$=2-1=1$

$R_{23}=-\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right|$

$=-(1-1)=0$

$R_{31}=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right|$

$=1-2=-1$

$R_{32}=-\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right|$

$=-(1-1)=0$

$R_{33}=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|$

$=2-1=1$

$\therefore AdjR={\left[\begin{array}{ccc}3& -1& -1\\ -1& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{ccc}3& -1& -1\\ -1& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right]$

$\therefore R^{-1}=\frac{1}{\left|R\right|}\mathrm{Adj}R$

$=\frac{1}{1}\left[\begin{array}{ccc}3& -1& -1\\ -1& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}3& -1& -1\\ -1& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right]$

নির্ণেয় $R^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}3& -1& -1\\ -1& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right].$