সৃজনশীলঃ ‘P(3,3), Q(−3,3), R(3,−3),…’ যশোর বোর্ড ২০২৬ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $P(3,3)$, $Q(-3,3)$ এবং $R(3,-3)$ বিন্দুগুলি একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

$\mathrm{xy}$ সমতলে বিন্দুগুলিকে স্থাপন করে দেখানো হলো—

PQR ত্রিভুজের PQ বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(-3-3{)}^2+(3-3{)}^2}$ একক

$=\sqrt{(-6{)}^2+0}$ একক

$=\sqrt{36}$ একক $=6$ একক

PR বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(3-3{)}^2+(-3-3{)}^2}$ একক

$=\sqrt{(-6{)}^2}$ একক

$=\sqrt{36}$ একক $=6$ একক

এবং QR বাহুর দৈর্ঘ্য $=\sqrt{(3+3{)}^2+(-3-3{)}^2}$ একক

$=\sqrt{6^2+(-6{)}^2}$ একক

$=\sqrt{36+36}$ একক

$=\sqrt{72}$ একক $=6\sqrt{2}$ একক

ত্রিভুজটি সমকোণী হবে যদি পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী এর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি অতিভুজের বর্গের সমান হয়।

এখানে, ${\mathrm{PQ}}^2+{\mathrm{PR}}^2=(6^2+6^2)$ একক $=(36+36)$ একক $=72$ একক

এবং ${\mathrm{QR}}^2=(6\sqrt{2}{)}^2=72$ একক

অতএব, ${\mathrm{PQ}}^2+{\mathrm{PR}}^2={\mathrm{QR}}^2$

সুতরাং $△$PQR ত্রিভুজটি সমকোণী।

$\therefore$ P, Q, R বিন্দুগুলো সমকোণী ত্রিভুজ PQR এর শীর্ষবিন্দু। (দেখানো হলো)

$P(3,3)$, $Q(-3,3)$, $R(3,-3)$ এবং $S(k,-3)$ বিন্দু চারটি দ্বারা গঠিত PQRS চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল —
$={\displaystyle \frac{1}{2}}\left|\begin{array}{ccccc}3& -3& 3& k& 3\\ 3& 3& -3& -3& 3\end{array}\right|$
$={\displaystyle \frac{1}{2}}(9+9-9+3k+9-9+3k+9)$ বর্গ একক
$={\displaystyle \frac{1}{2}}(18+6k)$ বর্গ একক
$=9+3k$ বর্গ একক
প্রশ্নমতে,
$9+3k=24$
বা, $3k=24-9$
বা, $3k=15$
বা, $k={\displaystyle \frac{15}{3}}=5$$\therefore k=5$
নির্ণেয় মান : $k=5$।