সৃজনশীলঃ ‘p(3+x2)n এবং q=(2−x)(3+ax)3…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৩ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

$p {(3 + \frac{x}{2})}^{n}$ এবং $q = (2 - x) (3 + ax)^{3}$ দুইটি দ্বিপদী বিস্তৃতি।

উত্তর:

দেওয়া আছে, $p = {(3 + \frac{x}{2})}^{n}$

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে পাই,

$p = 3^{n} +^{n} C_{1} 3^{n - 1} {(\frac{x}{2})}^{1} +^{n} C_{2} 3^{n - 2} {(\frac{x}{2})}^{2} + \dots \dots \dots \dots . . +$

$^{n} C_{7} 3^{n - 7} {(\frac{x}{2})}^{7} +^{n} C_{8} 3^{n - 8} {(\frac{x}{2})}^{8} + \dots \dots \dots \dots . .$

$= 3^{n} +^{n} C_{1} 3^{n - 1} \frac{x}{2} +^{n} C_{2} 3^{n - 2} \frac{x^{2}}{4} + \dots \dots \dots \dots \dots . . +$

$^{n} C_{7} 3^{n - 7} \frac{x^{7}}{2^{7}} +^{n} C_{8} 3^{n - 8} \frac{x^{8}}{2^{8}} + \dots \dots \dots \dots . .$

প্রশ্নমতে, $\frac{1}{2^{7}}^{n} C_{7} 3^{n - 7} = \frac{1}{2^{8}}^{n} C_{8} 3^{n - 8}$

বা, $\frac{2^{8}}{2^{7}} \times \frac{n!}{7! (n - 7) (n - 8)!} \times 3^{n - 7} = \frac{n!}{8 \times 7! (n - 8)!} \times 3^{n - 8}$

বা, $\frac{3^{n - 7}}{2^{n - 7}} = \frac{3^{n - 8}}{8}$

বা, $\frac{3^{n - 7}}{n - 7} = \frac{3^{n - 8}}{16}$

বা, $\frac{3^{n - 7}}{3^{n - 8}} = \frac{n - 7}{16}$

বা, $3^{n - 7 - n + 8} = \frac{n - 7}{16}$

বা, $3 = \frac{n - 7}{16}$

বা, $n - 7 = 48$

$∴ n = 55$ . (Ans.)

উত্তর:

দেওয়া আছে, $q = (2 - x) (3 + a x)^{3}$

$= (2 - x) [3^{3} +^{3} C_{1} 3^{3 - 1} (a x)^{1} +^{3} C_{2} 3^{3 - 2} (a x)^{2} +^{3} C_{3} 3^{3 - 3} (a x)^{3}]$

$= (2 - x) (27 + 27 a x + 9 a^{2} x^{2} + a^{3} x^{3})$

$= 54 + 54 a x + 18 a^{2} x^{2} + 2 a^{3} x^{3} - 27 x - 27 a x^{2} - 9 a^{2} x^{3} - a^{3} x^{4}$

$= 54 + 54 a x + (18 a^{2} - 27 a) x^{2} + 2 a^{3} x^{3} - 27 x - 9 a^{2} x^{3} - a^{3} x^{4}$

প্রশ্নমতে, $18 a^{2} - 27 a = 45$

বা, $18 a^{2} - 27 a - 45 = 0$

বা, $2 a^{2} - 3 a - 5 = 0$

বা, $2 a^{2} - 5 a + 2 a - 5 = 0$

বা, $a (2 a - 5) + 1 (2 a - 5) = 0$

বা, $(a + 1) (2 a - 5) = 0$

$∴ a = - 1, \frac{5}{2}$ . (Ans.)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর