সৃজনশীলঃ ‘P = 4x…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০১৭ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, P = 4x+3

$\therefore P^{34}=(3+4x{)}^{34}$

মনে করি, (3 + 4x)³⁴  এর বিস্তৃতিতে (r + 1) তম এবং (r +2) তম ক্রমিক পদ দুইটির সহগ সমান।

$(r+1)$ তম পদ ${}^{34}{C}_r\cdot 3^{34-r}\cdot (4x{)}^r={=}^{34}{C}_r\cdot 3^{34-r}\cdot 4^r\cdot x^r$$(r+2)$ তম পদ $={}^{34}{C}_{r+1}\cdot 3^{34-r-1}\cdot (4x{)}^{r+1}$

শর্তমতে, ${}^{34}{C}_r\cdot 3^{34-r}\cdot 4^r={}^{34}{C}_{r+1}\cdot 3^{33-r}\cdot 4^{r+1}$

বা, $\frac{34!}{r(34-r)!}\cdot 3^{34}\cdot 3^{-r}\cdot 4^r=\frac{34!}{(r+1)!(34-r-1)!}\cdot 3^{33}\cdot 3^{-r}\cdot 4^r\cdot 4$

বা, $\frac{3}{r!(34-r)(33-r)!}=\frac{4}{(r+1)r(33-r)!}$

বা, $\frac{3}{34-r}=\frac{4}{r+1}$

বা, $3r+3=136-4r$

বা, $3r+4r=136-3$

বা, $7r=133$

বা, $\dot{r}=\frac{133}{7}=19$

∴ (r+1) তম পদে x এর ঘাত = 19

(r+2) তম পদে x এর ঘাত = 19 + 1 = 20

∴ পদ দুইটিতে x এর ঘাত 19 এবং 20

দেওয়া আছে, P = 4x + 3

$\begin{array}{cc}\therefore P^{-\frac{1}{2}}& =(3+.4x{)}^{-\frac{1}{2}}\\ & ={\left\{3(1+\frac{4}{3}x)\right\}}^{-\frac{1}{2}}=3^{-\frac{1}{2}}{(1+\frac{4}{3}x)}^{-\frac{1}{2}}\end{array}$

বিস্তৃতিতে (r + 1) তম পদ

$\begin{array}{cc}& =3^{-\frac{1}{2}}\cdot \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}-1)(-\frac{1}{2}-2)\cdots \cdots \cdot (-\frac{1}{2}-r+1)}{r!}{\left(\frac{4}{3}x\right)}^r\\ & =3^{-\frac{1}{2}}\cdot \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})(-\frac{5}{2})\cdots \cdot \cdot \{-\frac{1}{2}(2r-1\left)\right\}}{r!}\cdot \frac{4^r}{3^r}{x}^r\\ & =\frac{(-1{)}^r\cdot 1.3\cdot 5\dots \dots \dots (2r-1)\cdot \frac{1}{2^r}\cdot 2^r\cdot 2^r}{r!\cdot 3\frac{1}{2}+r}{x}^r\end{array}$

$=\frac{(-1{)}^r(2r)!\cdot 2^r}{\left\{\right(2,1)\cdot (2\cdot 2)\cdot (2\cdot 3)\dots \dots .(2\cdot r\left)\right\}\cdot r!\cdot 3^{\frac{1}{2}+r}}{x}^r$

$=\frac{(-1{)}^r\cdot (2r)!\cdot 2^r}{2^r\cdot (1\cdot 2\cdot 3\dots \dots \dots .r)\cdot r!\cdot 3^{\frac{1}{2}}+r}{x}^r$

$=\frac{(-1{)}^r\cdot (2r)!}{r!r!\cdot 3\frac{1}{2}+r}{x}^r=\frac{(-1{)}^r\cdot (2r)!}{(r!{)}^2\cdot 3\frac{1}{2}+r}{x}^r$

∴ x এর সহগ $\frac{(-1{)}^r\cdot (2r)!}{(r!{)}^2\cdot 3^{\frac{1}{2}+r}}$

বিস্তৃতির (4+1) তম বা 5 তম পদ

$=\frac{(-1{)}^4\cdot (2\cdot 4)!}{(4!{)}^2\cdot 3^{\frac{1}{2}+4}}{x}^4$

$=\frac{8!}{(24{)}^2\cdot 3^{\frac{1}{2}}\cdot 3^4}-x^4$

$=\frac{40320}{576\cdot \sqrt{3}\cdot 81}{x}^4=\frac{70}{81\sqrt{3}}{x}^4$