সৃজনশীলঃ ‘P(−6,5),Q(−11,−6),R(7,−2),S(8, h) বিন্দুগুলো…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৩ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

$P (- 6, 5), Q (- 11, - 6), R (7, - 2), S (8, h)$ বিন্দুগুলো একটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু যেখানে $h > 0$ .

উত্তর:

আমরা জানি, $(x_{1}, y_{1})$ বিন্দুগামী এবং m ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ, $y - y_{1} = m (x - x_{1})$

$∴ (- 5, - 3)$ বিন্দুগামী এবং 3 ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,

$y - (- 3) = 3 {x - (- 5)}$

বা, $y + 3 = 3 (x + 5)$

বা, $y + 3 = 3 x + 15$

বা, $3 x - y + 12 = 0$ (Ans.)

উত্তর:

দেওয়া আছে, $P (- 6, 5)$ এবং Q(- 11, - 6) $T (x, y)$ বিন্দু হতে $P (- 6, 5)$ বিন্দুর দূরত্ব

$= \sqrt{(x + 6)^{2} + (y - 5)^{2}}$

$= \sqrt{x^{2} + 12 x + 36 + y^{2} - 10 y + 25}$

$= \sqrt{x^{2} + y^{2} + 12 x - 10 y + 61}$

$T (x, y)$ বিন্দু হতে $Q (- 11, - 6)$ বিন্দুর দূরত্ব

$= \sqrt{(x + 11)^{2} + (y + 6)^{2}}$

$= \sqrt{x^{2} + 22 x + 121 + y^{2} + 12 y + 36}$

$= \sqrt{x^{2} + y^{2} + 22 x + 12 y + 157}$

প্রশ্নমতে, $\sqrt{x^{2} + y^{2} + 12 x - 10 y + 61} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + 22 x + 12 y + 157}$

বা, $x^{2} + y^{2} + 12 x - 10 y + 61 = x^{2} + y^{2} + 22 x + 12 y + 157$ [বর্গ করে]

বা, $12 x - 10 y + 61 = 22 x + 12 y + 157$

বা, $10 x + 22 y + 96 = 0$

$∴ 5 x + 11 y + 48 = 0$ (প্রমাণিত)

উত্তর:

দেওয়া আছে, $P (- 6, 5), Q (- 11, - 6), R (7, - 2), S (8, h)$

$∴ △ PQR$ এর ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} | \begin{matrix} - 6 & - 11 & 7 & - 6 \\ 5 & - 6 & - 2 & 5 \end{matrix} |$ বর্গএকক

$= \frac{1}{2} (36 + 22 + 35 + 55 + 42 - 12)$ বর্গএকক

$= \frac{1}{2} \times 178$ বর্গএকক $= 89$ বর্গএকক

$∵ h > 0$ . সুতরাং, $S (8, h)$ বিন্দুর অবস্থান প্রথম চতুর্ভাগে।

∴ চতুর্ভুজ PQRS এর ক্ষেত্রফল

$= \frac{1}{2} | \begin{matrix} - 6 & - 11 & 7 & 8 & - 6 \\ 5 & - 6 & - 2 & h & 5 \end{matrix} |$ বর্গএকক

$= \frac{1}{2} | 36 + 22 + 7 h + 40 + 55 + 42 + 16 + 6 h |$ বর্গএকক

$= \frac{1}{2} | 211 + 13 h |$ বর্গএকক

প্রশ্নমতে, $\frac{1}{2} | 211 + 13 h | = 2 \times 89$

বা, $211 + 13 h = 356$

বা, $13 h = 145$ বা, $h = \frac{145}{13}$

$∴ h = \frac{145}{13}$ (Ans.)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর