সৃজনশীলঃ ‘P(a,b,c)=(a+b+c)(ab+bc+ca)−abc এবং g(x)=x3+2×2+1×2+2x−3…’ ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল ও কলেজ ২০২৬ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $P(a,b,c)=(a+b+c)(\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca})-\mathrm{abc}$ শর্তমতে, $P(a,b,c)=0$
বা, $(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=0$
বা, $a^{2}b+abc+a^{2}c+a{b}^2+b^{2}c+abc+abc+b{c}^2+c^{2}a-abc=0$
বা, $a^{2}b+a{b}^2+abc+b^{2}c+a^{2}c+abc+a{c}^2+b{c}^2=0$
বা, $\mathrm{ab}(a+b)+\mathrm{bc}(a+b)+\mathrm{ca}(a+b)+c^2(a+b)=0$
বা,$(a+b)(\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}+c^2)=0$
বা, $(a+b)\left\{b\right(a+c)+c(a+c\left)\right\}=0$
বা, $(a+b)(b+c)(c+a)=0$

$\therefore a+b=0$ 

বা, $a=-b$ 

অথবা, $b+c=0$ 

$\therefore b=-c$ 

অথবা, $c+a=0$ 

$\therefore c=-a$ 

বামপক্ষ $=(a+b+c{)}^{19}=(-b+b+c{)}^{19}=c^{19}$

ডানপক্ষ $=a^{19}+b^{19}+c^{19}$ 

$=(-b{)}^{19}+b^{19}+c^{19}=-b^{19}+b^{19}+c^{19}=c^{19}$ 

$\therefore (a+b+c{)}^{19}=a^{19}+b^{19}+c^{19}$ (দেখানো হলো) 

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=\frac{x^3+2x^2+1}{x^2+2x-3}=\frac{x^3+2x^2+1}{x^2+3x-x-3}$ 

$=\frac{x^3+2x^2+1}{x(x+3)-1(x+3)}=\frac{x^3+2x^2+1}{(x+3)(x-1)}$ 

ধরি, $\frac{x^3+2x^2+1}{(x+3)(x-1)}\equiv x+\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-1}$$.....\left(i\right)$
(i) নং এর উভয়পক্ষকে $(x+3)(x-1)$ দ্বারা গুণ করে পাই, $x^3+2x^2+1=x(x+3)(x-1)+A(x-1)+B(x+3)$ বা, $x^3+2x^2+1\equiv x(x^2-x+3x-3)+\mathrm{Ax}-A+\mathrm{Bx}+3B$ বা, $x^3+2x^2+1\equiv x^3+-x^2+3x^2-3x+x(A+B)-A+3B$ বা, $x^3+2x^2+1\equiv x^3+2x^2+(A+B-3)x-(A-3B)$$.....\left(ii\right)$
(ii) নং এর উভয়পক্ষে x এর সহগ ও ধ্রুবপদ সমীকৃত করে পাই,

$0=A+B-3$ 

বা, $A+B=3$
আবার, $1-(A-3B)=-A+3B$
বা, $1=-(3-B)+3B=-3+B+3B$
বা, $4B=4$

$\begin{array}{cc}\therefore & B=1\\ \therefore & A=3-1=2\end{array}$

A ও B এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

$\frac{x^3+2x^2+1}{(x+3)(x-1)}=x+\frac{2}{(x+3)}+\frac{1}{(x-1)}$

এটিই হলো $g\left(x\right)$ এর আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশিত রূপ।