সৃজনশীলঃ ‘P(a,b,c)=(a+b+c)(ab+bc+ca)এবং Q=(a−3+b−3+c−3−3a−1b−1c−1)…’ ইস্পাহানী ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল ও কলেজ ২০২৫ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

$Q=0$ হলে, $a^{-3}+b^{-3}+c^{-3}-3a^{-1}{b}^{-1}{c}^{-1}=0$

বা, $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}-3\frac{1}{abc}=0$

বা, $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}$

বা, ${\left(\frac{1}{a}\right)}^3+{\left(\frac{1}{b}\right)}^3+{\left(\frac{1}{c}\right)}^3-3\cdot \frac{1}{a}\cdot \frac{1}{b}\cdot \frac{1}{c}=0$

বা, $\frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\{{(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})}^2+{(\frac{1}{b}-\frac{1}{c})}^2+{(\frac{1}{c}-\frac{1}{a})}^2\}=0$

বা, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$

বা, $\frac{ab+bc+ca}{abc}=0$

$\therefore \mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}=0$

অথবা, ${(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})}^2+{(\frac{1}{b}-\frac{1}{c})}^2+{(\frac{1}{c}-\frac{1}{a})}^2=0$

কিন্তু কতগুলো বর্গের যোগফল শূন্য হলে তার প্রত্যেকটির মান শূন্য হয়।

অর্থাৎ ${(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})}^2=0$
বা, $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=0$
বা, $\frac{1}{a}=\frac{1}{b}$
$\therefore a=b$ 

আবার, ${(\frac{1}{b}-\frac{1}{c})}^2=0$
বা, $\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=0$
$\therefore b=c$
অর্থাৎ, $a=b=c$ 

সুতরাং $a=b=c$ অথবা $ab+bc+ca=0$. (প্রমাণিত) 

দেওয়া আছে, $P(a,b,c)=(a+b+c)(\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca})P(a,b,c)=\mathrm{abc}$ হলে, $\mathrm{abc}=(a+b+c)(\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca})$ বা, $(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=0$.
বা, $a(ab+bc+ca)+b(ab+bc+ca)+c(ab+bc+ca)-abc=0$
বা, $a^{2}b+abc+c{a}^2+a{b}^2+b^{2}c+abc+abc+b{c}^2+c^{2}a-abc=0$ 

বা, $a^{2}b+abc+c{a}^2+a{b}^2+b^{2}c+abc+b{c}^2+c^{2}a=0$
বা, $a^{2}b+a{b}^2+abc+b^{2}c+c{a}^2+abc+c^{2}a+b{c}^2=0$
বা, $ab(a+b)+bc(a+b)+ca(a+b)+c^2(a+b)=0$
বা, $(a+b)(ab+bc+ca+c^2)=0$
বা, $(a+b)\left\{b\right(c+a)+c(c+a\left)\right\}=0$
বা, $(a+b)(b+c)(c+a)=0$ 

হয়, $(a+b)=0$ 

$\therefore a=-b$ 

অথবা $(b+c)=0$
অথবা $b=-c$ 

অর্থবা $c+a=0$
অর্থবা $c=-a$ 

$a=-b$ হলে, 

বামপক্ষ $=\frac{1}{(a+b+c{)}^7}=\frac{1}{(-b+b+c{)}^7}=\frac{1}{c}$
ডানপক্ষ $=\frac{1}{a^7}+\frac{1}{b^7}+\frac{1}{c^7}$

$=\frac{1}{(-b{)}^7}+\frac{1}{b^7}+\frac{1}{c^7}=-\frac{1}{b^7}+\frac{1}{b^7}+\frac{1}{c^7}=\frac{1}{c^7}$

সুতরাং $\frac{1}{(a+b+c{)}^7}=\frac{1}{a^7}+\frac{1}{b^7}+\frac{1}{c^7}$ (দেখানো হলো)