সৃজনশীলঃ ‘P ও Q…’ ২০২৫ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

এখানে, $O$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত $P$ ও $Q$ মানের দুইটি সমবিন্দু বলের লব্ধি $R$। একটি ছেদক বলগুলির ক্রিয়া রেখাকে যথাক্রমে $L,M,N$ বিন্দুতে ছেদ করে। $O$ বিন্দু থেকে $LM$ এর উপর $OA$  লম্ব টানি। $OA$ বরাবর $P$ ও $Q$ বলদ্বয়ের লম্বাংশের বীজগাণিতিক যোগফল ঐ দিকে তাদের লব্ধির লম্বাংশের সমান বলে $OA$ বরাবর বলগুলোকে বিভাজিত করে পাই, 

$P\cos \mathrm{LOA}+Q\cos \mathrm{MOA}=R\cos \mathrm{NOA}$ 

বा, $P\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OL}}+Q\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OM}}=R\cdot \frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{ON}}$ 

$\therefore \frac{P}{\mathrm{OL}}+\frac{Q}{\mathrm{OM}}=\frac{R}{\mathrm{ON}}$ (দেখানো হলো) 

ধরি, $P$ ও $Q$

$(P>Q)$ বলদ্বয়ের লব্ধি = $R$ ধরি, $OD,\angle AOB$ এর সমদ্বিখণ্ডক। $OD$ ও $R$ এর মধ্যবর্তী কোণ $=\beta$.

 $\therefore$ লব্ধি $R,P$ এর সাথে $(\frac{\alpha }{2}-\beta )$ কোণে ক্রিয়ারত

$P$ ও $Q$ বলদ্বয় অবস্থান বিনিময় করলে আমরা পাই,

$\theta =\alpha -(\frac{\alpha }{2}-\beta )-(\frac{\alpha }{2}-\beta )=2\beta$ ]

বा, $\beta =\frac{\theta }{2}$ 

১ম ক্ষেত্রে: $OD$ বরাবর লম্বাংশ নিয়ে পাই, 

$R\cos \beta =P\cos \frac{\alpha }{2}+Q\cos \frac{\alpha }{2}$.

$=(P+Q)\cos \frac{\alpha }{2}$$.........\left(1\right)$

২য় ক্ষেত্রে: $OD$ বরাবর লম্বাংশ নিয়ে পাই, 

$R\sin \beta =P\sin \frac{\alpha }{2}+Q\sin (-\frac{\alpha }{2})$ 

$=(P-Q)\sin \frac{\alpha }{2}$$.........\left(2\right)$

$\left(2\right)$ নং সমীকরণকে $\left(1\right)$ নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই,

বा, $\tan \beta =\frac{P-Q}{P+Q}\tan \frac{\alpha }{2}$ 

$\therefore \tan \frac{\theta }{2}=\frac{P-Q}{P+Q}\tan \frac{\alpha }{2}$. (প্রমাণিত)