সৃজনশীলঃ ‘P ও Q…’ যশোর বোর্ড ২০১৯ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

এখানে প্রদত্ত বলদ্বয় $P$ ও $Q$ যেখানে $P>Q$

মনে করি বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ $=3\alpha$

তাহলে লব্ধি $R$, বল $P$ এর সাথে $\alpha$ কোণ উৎপন্ন করে।

$R$ বরাবর বলগুলোর লম্বাংশ নিয়ে পাই,

$R\cos 0^{\circ }=Q\cos 2\alpha +P\cos (-\alpha )$

$\therefore R=Q(2{\cos }^2\alpha -1)+P\cos \alpha$

এবং $R\sin 0^{\circ }=Q\sin 2\alpha +P\sin (-\alpha )$

বা, $0=Q(2\sin \alpha \cos \alpha )-P\sin \alpha$

বা, $2Q\cos \alpha -P=0$

বা, $\cos \alpha =\frac{P}{2Q}\therefore \alpha ={\cos }^{-1}\frac{P}{2Q}$

বা, $3\alpha =3{\cos }^{-1}\frac{P}{2Q}$

সমীকরণ (1) হতে পাই,

$R=2Q\left(\frac{P^2}{4Q^2}\right)-Q+P\left(\frac{P}{2Q}\right)$

$=\frac{P^2}{2Q}-Q+\frac{P^2}{2Q}=\frac{P^2}{Q}-Q=\frac{P^2-Q^2}{Q}$

$\therefore$ বল দুইটির অন্তর্গত কোণ $3{\cos }^{-1}\frac{P}{2Q}$ এবং লব্ধির মান $\frac{P^2-Q^2}{Q}$

ধরি বলদ্বয় $P$ ও $Q;(P>Q)$

শর্তমতে, $F=P+Q........\left(i\right)$

এবং $G=P-Q.........\left(ii\right)$

আমরা পাই,

$R^2=P^2+Q^2+2PQ\cos \alpha$

$=\frac{1}{2}\{2(P^2+Q^2)+4PQ\cos \alpha \}$

$=\frac{1}{2}\left\{\right(P+Q{)}^2+(P-Q{)}^2\}+\frac{1}{2}\left\{\right(P+Q{)}^2-(P-Q{)}^2\}\cos \alpha$

$[2(a^2+b^2)=(a+b{)}^2+(a-b{)}^2][4ab=(a+b{)}^2-(a-b{)}^2]$

$=\frac{1}{2}(F^2+G^2)+\frac{1}{2}(F^2-G^2)\cos \alpha$

$=\frac{1}{2}{F}^2\cdot 2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}+\frac{1}{2}{G}^2\cdot 2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}$

$=F^2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}+G^2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}$

$\therefore$ লব্ধি $R=\sqrt{F^2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}+G^2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}}$;

ইহাই $F,G$ ও $\frac{\alpha }{2}$ এর মাধ্যমে প্রকাশিত রূপ।