সৃজনশীলঃ ‘P, Q, R…’ Combined ২০১৮ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

$\mathrm{ABC}$ ত্রিভুজের A, B, C বিন্দুতে যথাক্রমে $P,Q,R$ মানের তিনটি সমমুখী সমান্তরাল বল ক্রিয়ারত আছে। A, B, C কোণগুলোর অন্তর্দ্বিখণ্ডক তিনটি পরস্পর I বিন্দুতে ছেদ করেছে। তাহলে, I হলো ABC ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র।

এখন, B ও C বিন্দুতে ক্রিয়ারত Q ও R বলের লব্ধি $(Q+R)$ বলটি BC রেখাস্থ D বিন্দুতে ক্রিয়া করবে।

আবার, বল তিনটির লব্ধি অন্তঃকেন্দ্র I বিন্দুগামী।

সুতরাং, I বিন্দু AD রেখার উপর অবস্থান করবে।

অর্থাৎ, $\mathrm{AD}$ রেখা A কোণকে সমদ্ধিখন্ডিত করবে।

$\therefore \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}..........\left(1\right)$

কিন্তু লব্ধি D বিন্দুগামী হওয়ায়, $Q.\mathrm{BD}=$ R. CD

বা, $\frac{BD}{CD}=\frac{R}{Q}........\left(2\right)$

(1) ও (2)নং হতে পাই, $\frac{R}{Q}=\frac{AB}{AC}$

বা, $\frac{Q}{\mathrm{AC}}=\frac{R}{\mathrm{AB}}$

অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে, $\frac{P}{\mathrm{BC}}=\frac{Q}{\mathrm{AC}}$

$\therefore \frac{P}{\mathrm{BC}}=\frac{Q}{\mathrm{AC}}=\frac{R}{\mathrm{AB}}$

বা, $\frac{P}{a}=\frac{Q}{b}=\frac{R}{c}........\left(3\right)$

আবার, $△\mathrm{ABC}$ হতে সাইন সূত্রের সাহায্যে পাই,

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}........\left(4\right)$

(3) ও (4)নং হতে পাই,

$\frac{P}{\sin A}=\frac{Q}{\sin B}=\frac{R}{\sin C}$

$\therefore P:Q:R=\sin A:\sin B:\sin C$. (দেখানো হলো)

মনে করি, $\mathrm{ABC}$ ত্রিভুজের A, B, C তিনটি কৌলিক বিন্দুতে $P,Q,R$ সমমুখী সমান্তরাল বলগুলি ক্রিয়াশীল।

এদের লব্ধি এই ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রে ক্রিয়ারত। যেহেতু $A$ বিন্দুতে $P$ বল এবং $G$ বিন্দুতে লব্ধি বল $R+P+Q$ ক্রিয়াশীল। সুতরাং B ও C বিন্দুতে ক্রিয়ারত Q ও R সমান্তরাল বলদ্বয়ের লব্ধি BC ও AGD-এর ছেদবিন্দু D তে ক্রিয়া করবে।

$\therefore Q.\mathrm{BD}=R.\mathrm{CD}......\left(1\right)$

যেহেতু AD মধ্যমা

$\therefore \mathrm{BD}=\mathrm{CD}.......\left(2\right)$

(1)নং সমীকরণকে (2)নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$Q=R.........\left(3\right)$

অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে, $P=Q.........\left(4\right)$

$\therefore$ (3) ও (4)নং সমীকরণ হতে পাই, $P=Q=R$

এটিই $P,Q$ এবং $R$ বলের মধ্যে নির্ণেয় সম্পর্ক।