সৃজনশীলঃ ‘P, Q, R…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০১৭ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

∆XYZ-এর লম্বকেন্দ্র ০ বিন্দু থেকে YZ, ZX, XY বাহুর উপর OD, OE, OF লম্ব তিনটি বরাবর ক্রিয়াশীল তিনটি বল যথাক্রমে P, Q, R। বলত্রয় সাম্যবস্থায় থাকলে লামির সূত্র থেকে আমরা পাই,

$\frac{P}{\sin \mathrm{EOF}}=\frac{Q}{\sin \mathrm{DOF}}=\frac{R}{\sin \mathrm{EOD}}$

বা, $\frac{P}{\sin (\pi -X)}=\frac{Q}{\sin (\pi -Y)}=\frac{R}{\sin (\pi -Z)}$

বা, $\frac{P}{\sin X}=\frac{Q}{\sin Y}=\frac{R}{\sin Z}$ ...... (i)

ত্রিভুজের সাইন সুত্র থেকে পাই,

(i) নং থেকে পাই, $\frac{P}{x}=\frac{Q}{y}=\frac{R}{z}$

$\therefore P:Q:R=x:y:z$ (প্রমাণিত)

XYZ ত্রিভুজের X, Y, Z বিন্দুতে যথাক্রমে P, Q, R মানের তিনটি সমমুখী সমান্তরাল বল ক্রিয়ারত আছে। X, Y, Z কোণগুলির অন্তর্দ্বিখণ্ডক তিনটি পরস্পর I বিন্দুতে ছেদ করেছে। তাহলে, I হলো, XYZ ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র।

এখন, Y ও Z বিন্দুতে ক্রিয়ারত Q ও R বলের লব্ধি (Q+R) বলটি YZ রেখাস্থ W বিন্দুতে ক্রিয়া করবে। আবার, বল তিনটির লব্ধি অন্তঃকেন্দ্র I বিন্দুগামী। সুতরাং, I বিন্দু XW রেখার ওপর অবস্থান করবে। অর্থাৎ, XW রেখা X কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে।

$\therefore \frac{\mathrm{YW}}{\mathrm{ZW}}=\frac{\mathrm{XY}}{\mathrm{XZ}}$ ...... (i)

কিন্তু লব্ধি W বিন্দুগামী হওয়ায়, Q.YW = R.ZW

বা, $\frac{YW}{ZW}=\frac{R}{Q}$ ......... (ii)

(i) ও (ii) নং হতে পাই, $\frac{R}{Q}=\frac{\mathrm{XY}}{\mathrm{XZ}}$ বা, $\frac{Q}{XZ}=\frac{R}{XY}$

অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে, $\frac{P}{\mathrm{YZ}}=\frac{Q}{\mathrm{XZ}}$

$\therefore \frac{P}{\mathrm{YZ}}=\frac{Q}{\mathrm{XZ}}=\frac{R}{\mathrm{XY}}$ বা, $\frac{P}{x}=\frac{Q}{y}=\frac{R}{z}$

$\therefore P:Q:R=x:y:z$ (প্রমাণিত)