সৃজনশীলঃ ‘P(x)=18×3+15×2−x−2 এবং Q(y)=y4+y2−2…’ ২০২৬ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $P\left(x\right)=18x^3+15x^2-x-2$ P(x) কে ( $2x+a$ ) দ্বারা ভাগ করা হলে ভাগশেষ,

$\begin{array}{cc}P\left(\frac{-a}{2}\right)& =18{\left(\frac{-a}{2}\right)}^3-15{\left(\frac{-a}{2}\right)}^2-(-\frac{a}{2})-2\\ & =-\frac{18a^3}{8}+\frac{15a^2}{4}+\frac{a}{2}-2\\ & =-\frac{9a^3}{4}+\frac{15a^2}{4}+\frac{a}{2}-2=\frac{-9a^3+15a^2+2a-8}{4}\end{array}$

P(x) কে (2x + b) দ্বারা ভাগ করা হলে ভাগশেষ,

$\begin{array}{cc}P\left(\frac{-b}{2}\right)& =18{\left(\frac{-b}{8}\right)}^3+15{\left(\frac{-b}{2}\right)}^2-\left(\frac{-b}{2}\right)-2\\ & =-\frac{18b^3}{8}+\frac{15b^2}{4}+\frac{b}{2}-2\\ & =\frac{-9b^3}{4}+\frac{15b^2}{4}+\frac{b}{2}-2=\frac{-9b^3+15b^2+2b-8}{4}\end{array}$

শর্তমতে, $P\left(\frac{-a}{2}\right)=P\left(\frac{-b}{2}\right)$
বা, $\frac{-9a^3+15a^2+2a-8}{4}=\frac{-9b^3+15b^2+2b-8}{4}$
বা, $-9a^3+15a^2+2a-8=-9b^3+15b^2+2b-8$
বা, $9a^3-9b^3-15a^2+15b^2-2a+2b+8-8=0$
বা, $9(a^3-b^3)-15(a^2-b^2)-2(a-b)=0$
বা, $9(a-b)(a^2+ab+b^2)-15(a+b)(a-b)-2(a-b)=0$
বা, $(a-b)(9a^2+9ab+9b^2-15a-15b-2)=0$
$\therefore a-b=0$ বা, $a=b$
যা অগ্রহণযোগ্য, কেননা $a\ne b$
অথবা, $9a^2+9ab+9b^2-15(a+b)-2=0$
$\therefore 9a^2+9b^2+9ab=15(a+b)+2$ । (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $Q\left(y\right)=y^4+y^2-2$

এখন, $\frac{y^2}{Q\left(y\right)}=\frac{y^2}{y^4+y^2-2}=\frac{y^2}{y^4+y^3-y^3-y^2+2y^2+2y-2y-2}$
$=\frac{y^2}{y^3(y+1)-y^2(y+1)+2y(y+1)-2(y+1)}$
$=\frac{y^2}{(y+1)(y^3-y^2+2y-2)}$
$=\frac{y^2}{(y+1)\left\{y^2\right(y-1)+2(y-1\left)\right\}}$
$=\frac{y^2}{(y+1)(y-1)(y^2+2)}$

ধরি, $\frac{y^2}{(y+1)(y-1)(y^2+2)}\equiv \frac{A}{y+1}+\frac{B}{y-1}+\frac{Cy+D}{y^2+2}$ . . . . . . . . (1)
(1)নং এর উভয়পক্ষকে $(y+1)(y-1)(y^2+2)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$y^2\equiv A(y-1)(y^2+2)+B(y+1)(y^2+2)+(Cy+D)(y+1)(y-1)$ . . . . . . . . (2)

বা, $y^2\equiv A(y^3-y^2+2y-2)+B(y^3+y^2+2y+2)+(Cy+D)(y^2-1)$

বা, $\begin{array}{cc}& y^2\equiv A{y}^3-A{y}^2+2Ay-2A+B{y}^3+B{y}^2+2By+2B\\ & +C{y}^3+D{y}^2-Cy-D\end{array}$

বা, $\begin{array}{cc}{y}^2\equiv y^3& (A+B+C)+y^2(-A+B+D)\\ & +y(2A+2B-C)+(-2A+2B-D)\end{array}$ . . . . . . . . (3)

(2) নং এ $y=1$ বসিয়ে পাই,

$\begin{array}{c}(-1{)}^2=A(-1-1)\left\{\right(-1{)}^2+2\}+B(-1+1)\left\{\right(-1{)}^2+2\}\\ +\left\{C\right(-1)+D\}(-1+1)(-1-1)\end{array}$

বা, $1=2\times 3B$
বা, $1=6$ B

$\therefore B=\frac{1}{6}$

(3)নং এর উভয়পক্ষ হতে $y^3$ ও $y^2$ এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

$A+B+C=0$

বা, $-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+C=0$

$\therefore C=0$

আবার, $1=-A+B+D$
বা, $1=-\left(\frac{-1}{6}\right)+\frac{1}{6}+D$
বা, $D+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=1$
বা, $D=1-\frac{1}{6}-\frac{1}{6}$
বা, $D=\frac{6-1-1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

এখন, (1) নং এ A, B, C, D এর মান বসাইয়া পাই,

$\begin{array}{cc}\frac{y^2}{(y+1)(y-1)(y^2+2)}& \equiv -\frac{1}{6(y+1)}+\frac{1}{6(y-1)}+\frac{0+\frac{2}{3}}{y^2+2}\\ & =\frac{1}{6(y-1)}-\frac{1}{6(y+1)}+\frac{2}{3(y^2+2)}\end{array}$

এটিই হলো $\frac{y^2}{Q\left(y\right)}$ এর আংশিক ভগ্নাংশের প্রকাশিত রূপ।