সৃজনশীলঃ ‘P(x)=18×3+15×2−x+a এবং Q(x)=x3+x2−6x.…’ জালালাবাদ ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল এন্ড কলেজ ২০২৫ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $P\left(x\right)=18x^3+15x^2-x+a$
$P\left(x\right)$ এর একটি উৎপাদক $3x+2$ হলে, $P(-\frac{2}{3})=0$ হবে।

$\therefore P(-\frac{2}{3})=18{(-\frac{2}{3})}^3+15{(-\frac{2}{3})}^2-(-\frac{2}{3})+a$

বা, $0=18(-\frac{8}{27})+15\times \frac{4}{9}+\frac{2}{3}+a$
বা, $\frac{-16}{3}+\frac{20}{3}+\frac{2}{3}+a=0$
বা, $0=\frac{-16+20+2+3a}{3}$
বা, $0=\frac{6+3a}{3}$
বা, $0=6+3a$
বা, $3a=-6$
বা, $a=\frac{-6}{3}$

$\therefore a=-2$

নির্পেয় মান :-2. 

$\frac{x^2+x-1}{Q\left(x\right)}=\frac{x^2+x-1}{x(x+3)(x-2)}$ ['ক' হতে প্রাপ্ত] 
ধরি, $\frac{x^2+x-1}{x(x-2)(x+3)}\equiv \frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+3}$$...\left(1\right)$

উভয়পক্ষকে $x(x-2)(x+3)$ দ্বারা গুণ করে পাই, $x^2+x-1\equiv A(x-2)(x+3)+Bx(x+3)+Cx(x-2)$$...\left(2\right)$ 

(2) নং এ $x=0$ বসিয়ে পাই,

$-1=A\cdot (-2)\cdot 3+B\cdot 0+C\cdot 0$

বা, $-1=-6A$
বা, $6A=1\therefore A=\frac{1}{6}$
(2) নং এ $x=2$ বসিয়ে পাই,

$2^2+2-1=A(2-2)(2+3)+B\cdot 2\cdot (2+3)+C\cdot 2(2-2)$

বা, $4+2-1=A.0+B\times 2\times 5+B.0+C.0$
বা, $5=10B$
বা, $B=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\therefore B=\frac{1}{2}$
(2) নং এ $x=-3$ বসিয়ে পাই,

$\begin{array}{c}(-3{)}^2+(-3)-1=A(-3-2\left)\right(-3+3)+B\cdot (-3)\\ (-3+3)+C\cdot (-3)(-3-2)\end{array}$

বা, $9-3-1=$ A. $0+$ B. $0+$ C. $(-3)(-5)$
বা, $5=15C\therefore C=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$
এখন-A, B ও C এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$\begin{array}{cc}\frac{x^2+x-1}{x(x-2)(x+3)}& =\frac{\frac{1}{6}}{x}+\frac{\frac{1}{2}}{x-2}+\frac{\frac{1}{3}}{x+3}\\ & =\frac{1}{6x}+\frac{1}{2(x-2)}+\frac{1}{3(x+3)}\end{array}$

যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।