সৃজনশীলঃ ‘P(x)=(1+x)n,Q(x)=2x+11−x2…’ ২০২৬ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $P\left(x\right)=(1+x{)}^n$

$\therefore P\left(x\right)=(1+x{)}^n$ এর বিস্তৃতিতে $x^4,x^5$ এবং $x^6$

যথাক্রমে 5 তম, 6 তম ও 7 তম পদে বিদ্যমান

$\therefore 5$ বা $(4+1)$ তম পদের সহগ $={}^n{C}_4=\frac{n!}{(n-4)!4!}$
$\therefore 6$ বা $(5+1)$ তম পদের সহগ $={}^n{C}_5=\frac{n!}{(n-5)!5!}$
এবং 7 বা $(6+1)$ তম পদের সহগ $={}^n{C}_6=\frac{n!}{(n-6)!6!}$

যেহেতু সহগগুলো সমান্তর প্রগমনভুক্ত

$\therefore \frac{n!}{(n-6)!6!}-\frac{n!}{(n-5)!5!}=\frac{n!}{(n-5)!5!}-\frac{n!}{(n-4)!4!}$

বা, $2\frac{n!}{(n-5)!5!}=\frac{n!}{(n-6)!6!}-\frac{n!}{(n-4)!4!}$
বা, $\frac{2n!}{(n-5)(n-6)!\times 5\times 4!}=\frac{n!}{(n-6)!4!}\{\frac{1}{30}-\frac{1}{(n-4)(n-5)}\}$
বা, $\frac{2}{5(n-5)}=\frac{(n-4)(n-5)-30}{30(n-4)(n-5)}$
বা, $12.(n-4)=n^2-4n-5n+20-30$
বা, $12n-48=n^2-9n-10$
বা, $n^2-9n-10-12n+48=0$
বা, $n^2-21n+38=0$
বা, $n^2-19n-2n+38=0$
বা, $n(n-19)-2(n-19)=0$
বা, (n-19) (n-2) =0

$\therefore n=19$ অথবা $n=2$ যা গ্রহণযোগ্য নয়। $[\because n>r]$
নির্ণেয় মান : $n=19$

দেওয়া আছে, 

$\begin{array}{cc}Q\left(x\right)& =\frac{2x+1}{1-x^2}=\frac{2x+1}{(1+x)(1-x)}\\ & =\frac{3}{2(1-x)}-\frac{1}{2(1+x)}\end{array}$

[আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করে]

$\begin{array}{cc}& =\frac{3}{2}(1-x{)}^{-1}-\frac{1}{2}(1+x{)}^{-1}\\ & =\frac{3}{2}(1+x+x^2+\dots .+x^r+\dots .)\\ & -\frac{1}{2}(1-x+x^2-x^3+\dots ..(-1{)}^r{x}^r+\dots ..)\end{array}$

$\therefore Q\left(x\right)$ এর বিস্তৃতিতে $x^r$ এর সহগ $=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}(-1{)}^r$
$\therefore r$ জোড় হলে $x^r$ এর সহগ $=1$
এবং $r$ বিজোড় হলে $x^r$ এর সহগ = 2