সৃজনশীলঃ ‘P(x) = ax2…’ সিলেট বোর্ড ২০২২ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $P\left(x\right)={\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c$

এবং $P\left(x\right)=0$

বা, $a{x}^2+bx+c=0$ এর মূলদ্বয় $\alpha ,\beta$ হলে,

$\alpha +\beta =\frac{-b}{a}$ এবং $\alpha \beta =\frac{c}{a}$

এখন, $a{x}^2-2bx+4c=0$

বা, $x^2-2\cdot \frac{b}{a}\cdot x+4\cdot \frac{c}{a}=0$

বা, $x^2+2\cdot \left(\frac{-b}{a}\right)x+4\cdot \frac{c}{a}=0$

বা, $x^2+2(\alpha +\beta )x+4\alpha \beta =0$

বা, $x^2+2\alpha x+2\beta x+4\alpha \beta =0$

বা, $x(x+2\alpha )+2\beta (x+2\alpha )=0$

বা, $(x+2\alpha )(x+2\beta )=0$

হয়, $x+2\alpha =0$ অথবা, $x+2\beta =0$

বা, $x=-2\alpha$  বা, $x=-2\beta$

$\therefore$ সমীকরণটির মূলদ্বয় $-2\alpha$ ও $-2\beta$.

দেওয়া আছে, $P\left(x\right)={\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c$

এখন, $P\left(x\right)=0$ হলে,

$a{x}^2+bx+c=0$ ........... (i)

ধরি, (i) নং এর মূলদ্বয় $\alpha ,\beta$

$\therefore \alpha +\beta =\frac{-b}{a}$ এবং $\alpha \beta =\frac{c}{a}$

প্রশ্নমতে, $|\alpha -\beta |=2\pi$

বা, $(\alpha -\beta {)}^2=4{\pi }^2$

বা, $(\alpha +\beta )-4\alpha \beta =4{\pi }^2$

বা, ${\left(\frac{-b}{a}\right)}^2-4\cdot \frac{c}{a}=4{\pi }^2$

বা, $\frac{b^2}{a^2}-\frac{4c}{a}=4{\pi }^2$

বা, $\frac{b^2-4ac}{a^2}=4{\pi }^2$

$\therefore b^2-4\mathrm{ac}=4a^2{\pi }^2$, (প্রমাণিত)